\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie par :
\[f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}\e^{\tfrac{1}{x}}\]
 et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
\begin{enumerate}
\item Étudier les limites de $f$ aux  bornes de son ensemble de définition.
\item Soit $U$ la fonction définie par $U(x)=\dfrac{\e^x}{1-x}$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\left\{0~;~1\right\}$, le taux de variation de $U$ entre 0 et $\dfrac{1}{x}$ est  $f(x)-x$.
\item En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(f(x)-x)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

