\begin{exercice}
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{center}$f(x)=(ax + b)\e^{-x} + 1$\end{center}
telle que sa courbe représentative  $\mathscr{C}$ passe par les points $A (0~;~4)$ et $B (-1,5~;~1)$ dans un répère du plan.
\begin{enumerate}
\item Déterminer une expression de $f(x)$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
	\item
\begin{enumerate}
	\item Montrer que pour tout réel $x$ :
\begin{center}$f (x) = 2 \dfrac{x}{\e^x} + \dfrac{3}{\e^x} + 1$.\end{center}
	\item Déterminer alors la limite de $f$ en $+ \infty$.
	\item En déduire que la courbe $\mathscr{C}$ a une asymptote $\mathscr{D}$.\par
    Donner une équation de $\mathscr{D}$.
	\item Démontrer que $\mathscr{D}$ coupe $\mathscr{C}$ au point $B$.
	\item Étudier la position de $\mathscr{C}$ par rapport à $\mathscr{D}$.
\end{enumerate}
 \item Démontrer que, pour tout réel $x$ :
	\begin{center}$f'(x)=(-2x -1)\e^{-x}$.\end{center}
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur $\mathbb{R}$.\par
     En déduire le tableau de variation de $f$.
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{T}$ tangente à la courbe $\mathscr{C}$ au point $A$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

