\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{center}
$f(x) = x + \dfrac{4}{1 + \e^x}$.
\end{center}
On désigne par $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $\mathbb{R}$ d'unité graphique 2 cm.
\begin{enumerate}
\item Déterminer les limites en $+ \infty$ et $- \infty$ de la fonction $f$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$ :
\begin{center} $f'(x) = \left(\dfrac{1 - \e^x}{1 + \e^x}\right)^2$.\end{center}
\item
En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.\par
Dresser alors  le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)$.\par
%En déduire que la droite $\mathscr{D}:y = x$ est asymptote oblique à  $\mathscr{C}$ en $+ \infty$.\par
Étudier la position de  $\mathscr{C}$ par rapport à  $\mathscr{D}$.
\item %On admet que la droite $\mathscr{D}'$ d'équation $y = x + 4$ est asymptote oblique à  $\mathscr{C}$ en $- \infty$.\par
Étudier la position de  $\mathscr{C}$ par rapport à  $\mathscr{D}'$.
\item Tracer les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D}'$ et  la courbe $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

