\begin{exercice}Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0~;~+\infty[$ par :
\[f(x)=-2\e^{-x^2}-x+3 \text{~~et~~} g(x)=x\e^{-x^2}-\dfrac{1}{4}.\]
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $g$ admet un maximum en $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ admet  deux \mbox{solutions} $\alpha$ et $\beta$ (avec $\alpha<\beta$) dans $[0~;~2]$.
\item Dresser le tableau de signes de $g(x)$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer le réel $k>0$ tel que $f'(x)=kg(x)$.
\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$.
\item Montrer que $f(\alpha)=-\dfrac{1}{2\alpha}-\alpha+3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

