\begin{exercice}[\hfill \algo]
Soit $(u_n)_{n\geqslant1}$ la suite définie par :
\begin{center} $\displaystyle u_n=\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k}=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{n}$.\end{center}
Le but est de trouver le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant 5$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $u_1$, $u_2$ et $u_3$.
\item Dans l'algorithme suivant, \texttt{u} et \texttt{n} sont des nombres.\par
Le compléter pour qu'il affiche $u_{20}$.
\vspace{2mm}\begin{center}
\begin{oldalgorithme}
u PREND\_LA\_VALEUR 1
POUR n ALLANT\_DE \colorbox{H1}{\phantom{EE}} A \colorbox{H1}{\phantom{EE}}
    u PREND\_LA\_VALEUR u + \colorbox{H1}{\phantom{EE}}
Fin POUR
AFFICHER u
\end{oldalgorithme}
\end{center}\vspace{2mm}
\item Exprimer $u_{n+1}-u_n$ en fonction de $n$.\par
En déduire les variations de la suite $(u_n)$.
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
\[f(x)=\e^x-x-1.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer les variations de $f$ sur $[0~;~+\infty[$.\par
\item En déduire que, pour $n\geqslant1$, $\e^{\tfrac1n}\geqslant\dfrac{n+1}{n}$.
\end{enumerate}
\item Montrer que, pour $n\geqslant1$, on  a $\e^{u_n}\geqslant n+1$.
\item En déduire la limite de la suite $(u_n)$.
\item Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche la valeur de $n$  répondant à l'objectif.
\vspace{2mm}\begin{center}
\begin{oldalgorithme}
u PREND\_LA\_VALEUR 1
n PREND\_LA\_VALEUR 1
TANT\_QUE (u \colorbox{H1}{\phantom{EE}}) FAIRE
    n PREND\_LA\_VALEUR n + 1
    u PREND\_LA\_VALEUR u + \colorbox{H1}{\phantom{EE}}
Fin TANT\_QUE
AFFICHER n
\end{oldalgorithme}
\end{center}\vspace{2mm}
\end{enumerate}
\end{exercice}

