\begin{exercice}[\hfill \algo]
Le but est de déterminer un encadrement d'amplitude donnée de  la solution de l'équation (E) : $\e^x = 2$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que (E) a une unique solution $\alpha\in[0~;~1]$.
\item À partir de l'intervalle $[0~;~1]$‚ on procède par \mbox{\textbf{dichotomie}} pour réduire plusieurs fois de moitié la longueur de cet intervalle.\par
 Quel est l'encadrement de $\alpha$ après le premier pas :\vspace{-2mm}
\[0\leqslant \alpha \leqslant 0,5 \text{~~ou~~}  0,5\leqslant \alpha \leqslant 1 \text{~?}\]\vspace{-7mm}
\item On a traduit le processus par l'algorithme suivant où les variables \texttt{a}, \texttt{b}, \texttt{c} et \texttt{p} sont des nombres.\vspace{2mm}
\begin{center}
\begin{oldalgorithme}
a PREND\_LA\_VALEUR 0
b PREND\_LA\_VALEUR 1
p PREND\_LA\_VALEUR b - a
TANT\_QUE p > 0.1
    c prend la valeur (a + b) / 2
    SI \colorbox{H1}{\phantom{EE}} ALORS a PREND\_LA\_VALEUR c
    SINON \colorbox{H1}{\phantom{EE}} PREND\_LA\_VALEUR \colorbox{H1}{\phantom{EE}}
    p PREND\_LA\_VALEUR \colorbox{H1}{\phantom{EE}}
Fin TANT\_QUE
AFFICHER \colorbox{H1}{\phantom{EE}}
\end{oldalgorithme}
\end{center}\vspace{2mm}
Compléter l’algorithme pour qu'il donne les bornes d'un encadrement de $\alpha$   d’amplitude inférieure à 0,1.
\item Modifier l'algorithme afin que l’utilisateur puisse \mbox{définir} au départ l'amplitude souhaitée.
\item Programmer l'algorithme  afin d'encadrer $\alpha$  avec une amplitude
inférieure à $10^{-5}$.\par
Combien de tours de la boucle \texttt{TANT\_QUE} y a-t-il eu ?
\end{enumerate}
 \begin{cadre}[A1][A4]
 Ultérieurement, on étudiera la fonction logarithme népérien notée $\ln$ et on verra  que  :\vspace{-2mm}
\begin{center}$\e^\alpha = 2 \Leftrightarrow \alpha = \ln 2$.\end{center}
 \end{cadre}
\end{exercice}

