\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{TA4_limite_exp}]\label{TA4_exo_limite_exp}
Déterminer les limites suivantes :
\begin{colenumerate}{3}
\item $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \e^{-x}$
\item $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{\e^x}x$
\item $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x}{\e^x}$
\item $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \e^{-x+1}$
\item $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \e^{2x+1}$
\item $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \e^{-x^2+1}$
\item $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \e^{\tfrac1x}$
\item $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\e^{\tfrac1x}$
\item $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\e^{-\tfrac1x}$
\end{colenumerate}
\end{exercice*}
\begin{corrige}
\begin{enumerate}
  \item Posons $X=-x$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \e^{-x}=\lim_{X\to+\infty} \e^{X}=+\infty$.
  \item $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \e^{x}=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \dfrac{1}{x}=0$ donc $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{\e^{x}}{x}=0$
  \item $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\e^x}{x}=+\infty$ donc par inverse de limites, on a $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{x}{\e^x}=0$
  \item Posons $X=-x+1$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \e^{-x+1}=\displaystyle\lim_{X\to-\infty} \e^X=0$
  \item Posons $X=2x+1$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \e^{2x+1}=\displaystyle\lim_{X\to-\infty} \e^X=0$
  \item Posons $X=-x^2+1$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \e^{-x^2+1}=\displaystyle\lim_{X\to-\infty} \e^X=0$
  \item Posons $X=\dfrac{1}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \e^{\tfrac1x}=\displaystyle\lim_{X\to0} \e^X=1$
  \item Posons $X=\dfrac{1}{x}$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\e^{\tfrac1x}=\displaystyle\lim_{X\to-\infty}\e^X=0$
 \item Posons $X=\dfrac{1}{x}$ et $\displaystyle\lim_{\substack{x\to 0\\ x<0}}\e^{-\tfrac1x}=\displaystyle\lim_{X\to+\infty}\e^X=+\infty$
\end{enumerate}
\end{corrige}

