\begin{exercice}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x)=
\left\{\begin{array}{cl}
   \dfrac{x\e^x}{\e^x - 1}& \text{si } x \neq 0\\
   1 & \text{si }x=0
\end{array}\right..\]
On note $\mathscr{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal $(O~;~\vec{i},~\vec{j})$.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item  Établir que, pour tout nombre réel $x$ non nul :
\[f(x) = x \left(1 + \dfrac{1}{\e^x - 1}\right).\]
En déduire la limite de $f$ en $+\infty$.
 \end{enumerate}
\item  Justifier que $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x}{\e^x - 1}$.\par
       En déduire que $f$ est continue en $0$.
\item  \begin{enumerate}
     \item  Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$, $\e^x \geqslant  x + 1$ et que l'égalité n'a lieu que pour $x=0$.
     \item  Déterminer $g(x)$ telle que, pour tout $x\in\mathbb{R^*}$ :
\[f'(x) = \dfrac{\e^x g(x)}{\left(\e^x - 1 \right)^2}.\]
     \item  Donner le tableau des variations de $f$.
       \end{enumerate}
\item  Soient $x$ un nombre réel non nul et les points $M(x~;~ f(x))$ et $M'(-x~ ;~f(-x))$ de la courbe $\mathscr{C}$.
\begin{enumerate}
\item  Établir que $f(-x) = \dfrac{x}{\e^x - 1}$,  puis déterminer le \mbox{coefficient} directeur de la droite $(MM')$.
\item  On admet que la fonction $f$ est dérivable en $0$.\par
Que suggère alors le résultat précédent ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

