\begin{exercice}[Démontrer l'existence de la fonction $\boldsymbol{\exp}$]\label{TA4_demo_existence_exp}
La fonction exponentielle a été définie comme l'unique fonction $f$ vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$.\\
Ayant admis l'existence d'une telle fonction (voir page \pageref{euler}), nous avons prouvé l'unicité.\\
Dans cet exercice, on se propose de prouver l'existence.

\partie{}

Soit $x$ un réel et $n_0$ un entier naturel tel que $n_0>|x|$.\\
On définit à partir du rang $n_0$, les suites $(u_n(x))$ et $(v_n(x))$ telles que :
\[u_n(x)=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n \text{~et~} v_n(x)=\left(1-\dfrac{x}{n}\right)^{-n}=\dfrac{1}{u_n(-x)}\]
\begin{enumerate}
\item Démontrer de deux façons différentes que,
pour tout entier naturel $n$ et tout réel $a$ supérieur à $-1$ :
\[(1+a)^n\geqslant1+na \quad \textbf{\text{Inégalité de Bernoulli}}\]
\item
\begin{enumerate}
\item En remarquant que :
\[\dfrac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)\left(\dfrac{1+\tfrac{x}{n+1}}{1+\tfrac{x}{n}}\right)^{n+1}.\]
et en transformant le facteur de droite afin \mbox{d'appliquer} l'inégalité de Bernoulli, démontrer que, pour tout $n$ supérieur ou égal à $n_0$ :
\[u_n(x)\leqslant u_{n+1}(x).\]
\item En déduire que la suite $(u_n(x))_{n\geqslant n_0}$ est croissante puis que la suite $(v_n(x))_{n\geqslant n_0}$ est décroissante.
\item Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $n_0$, on a les deux encadrements :
\begin{itemize}
\item $1-\dfrac{x^2}{n}\leqslant u_n(x)u_n(-x)\leqslant 1$ ;
\item $0\leqslant v_n(x)-u_n(x)\leqslant \dfrac{x^2}{n}v_n(x)$.
\end{itemize}
\item Déduire des questions précédentes que les suites $(u_n(x))_{n\geqslant n_0}$ et $(v_n(x))_{n\geqslant n_0}$ convergent vers la même limite qu'on notera $f(x)$.\par
    Ainsi, on a : $f(x)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\partie{}

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f:x\mapsto f(x)$ définie sur $\mathbb{R}$ et à \mbox{valeurs} dans $\mathbb{R}$. Soit $x$ et $h$ deux réels.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :
\[\left(1+\dfrac{x+h}{n}\right)^n=\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n\left(1+\dfrac{h}{n\left(1+\tfrac{x}{n}\right)}\right)^n.\]
\item En appliquant l'inégalité de Bernoulli, démontrer que, pour tout entier naturel $n$ tel que $n>|x|$ et $x+n>1$, si $|h|<1$, alors :
\[f(x+h)>(1+h)f(x).\]
\item En remplaçant $h$ par $-h$ puis $x$ par $x+h$ dans \mbox{l'inégalité} précédente, démontrer que :
\[(1-h)f(x+h)<f(x).\]
\item Déduire des résultats précédents un encadrement pour $h\in]-1~;~0[\,\cup\,]0~;~1[$ du quotient :
\[\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.\]
\item En déduire que la fonction $f$ est dérivable en $x$ et déterminer le nombre dérivé de $f$ en $x$.
\end{enumerate}
\item Démontrer que $f$ vérifie $f'=f$ et $f(0)=1$.\par
Conclure.
\end{enumerate}
\end{exercice}


