\begin{exercice}[Fonctions hyperboliques]
 Les \MotDefinition{fonctions hyperboliques}{} sont les fonctions \mbox{cosinus}, sinus et tangente hyperboliques notées respectivement $\cosh$, $\sinh$ et $\tanh$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{center}\textcolor{ExerciceItemColor}{$\bullet$} $\cosh(x)\hspace{-1mm} =\hspace{-1mm} \dfrac{\e^x+\e^{-x}}{2}$
\hspace{.45cm} \textcolor{ExerciceItemColor}{$\bullet$} $\sinh(x) \hspace{-1mm} =\hspace{-1mm} \dfrac{\e^x-\e^{-x}}{2}$
\hspace{.45cm} \textcolor{ExerciceItemColor}{$\bullet$} $\tanh \hspace{-1mm} =\hspace{-1mm}  \dfrac{\sinh}{\cosh}$
\end{center}\vspace{-4mm}
\begin{enumerate}
\item Déterminer leurs dérivées en fonction de $\cosh$
et $\sinh$.
\item Montrer que $\cosh$ est à \mbox{valeurs} dans $[1~;~+\infty[$ et $\tanh$
est à valeurs dans $]-1~;~1[$.
\item Calculer $\tanh(x)$ en fonction de :
\begin{colenumerate}{3}
\item $\e^x$ \,et\,  $\e^{-x}$
\item $\e^{2x}$
\item $\e^{-2x}$
\end{colenumerate}
\item Montrer que :
\begin{enumerate}
\item $\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1$
\item $\cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)$
\item $\sinh(x+y)=\sinh(x)\cosh(y)+\cosh(x)\sinh(y)$
\item $\tanh(x+y)=\dfrac{\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}$
\end{enumerate}
\item On pose $t=\tanh\left(\dfrac{x}{2}\right)$.\par
 Montrer que $\cosh(x)=\dfrac{1+t^2}{1-t^2}$ \,et \,  $\sinh(x)=\dfrac{2t}{1-t^2}$.
\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $5\cosh(x)-4\sinh(x)=3$.\par
Donner la ou les solution(s) à $10^{-3}$ près.
\item Dériver la fonction $x\mapsto
\dfrac{2\sin(x)\sinh(x)}{(\sinh(x)+\sin(x))^2}$.
\item Soit $y\in\mathbb{R}$. Comparer $\sinh(y)$ et $y$.
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\sinh(2x)=2\sinh(x)\cosh(x)$.
\item Étudier alors la fonction $f:x\mapsto \dfrac{\tanh(x)}{x}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

