\begin{exercice}
Soit $f_{k}$, avec $k\in\mathbb{Z}$, la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{center}$f_{k}(x)  = (x +1)\e^{kx}$\end{center}
et représentée par  $\mathscr{C}_{k}$  dans un repère orthonormé.\vspace{2mm}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
  \item Étudier les variations de la fonction $f_{-1}$ et les\linebreak limites
    en $+\infty$ et $-\infty$.
\item Dresser  un tableau de variation complet de $f_{-1}$.
\end{enumerate}
\item	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la nature de la fonction $f_{0}$ ?
		\item   Déterminer les points d'intersection de $\mathscr{C}_{0}$ et $\mathscr{C}_{1}$.\par
Vérifier que, pour tout  $k\in \mathbb{Z}$, ils sont sur $\mathscr{C}_{k}$.
	\end{enumerate}
\item   Étudier  le signe de $g(x)=(x + 1)\left(\e^x - 1\right)$.\par
En déduire, pour $k$ entier relatif donné, les positions relatives de $\mathscr{C}_{k}$ et $\mathscr{C}_{k+1}$.
\item   Calculer $f_{k}'(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}$ et pour tout $k\in\mathbb{N}^*$.\par
        En déduire le sens de variation de $f_{k}$ suivant les \mbox{valeurs} de $k$.
        \end{enumerate}
        
\columnbreak

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4}
\item	Dans le repère suivant, quatre courbes \textcolor{blue}{\texttt{A}}, \textcolor{orange}{\texttt{B}}, \textcolor{red!90!black}{\texttt{C}} et \textcolor{green!60!black}{\texttt{D}} représentent quatre fonctions $f_k$ distinctes où $k$ est parmi les entiers $-3$, $-1$, $1$ et $2$.\par
Identifier les courbes correspondant à ces valeurs en justifiant la réponse.\vspace{3mm}
\begin{center}
\psset{unit=.9cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-3.1)(4.1,3.1)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](-4,-4)(5,4)
\psaxes[linewidth=.8pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-3.1,-3.1)(4.1,3.1)
\psaxes[linewidth=.8pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=.8pt]{-3}{0.6}{x 1 add 2.71828 x exp mul}              %A
\psplot[linecolor=orange,linewidth=.8pt,plotpoints=5000]{-3.1}{4.1}{x 1 add 2.71828 x 2 mul exp div}      %B
\psplot[linecolor=red!90!black,linewidth=.8pt]{-3.1}{4.1}{x 1 add 2.71828 x exp div }              %C1
\psplot[linecolor=red!90!black,linewidth=.8pt]{-3.1}{4.1}{x 1 add 2.71828 x exp div }              %C2
\psplot[linecolor=green!60!black,linewidth=.8pt]{-3.1}{4.1}{x 1 add 2.71828 3 x mul exp mul}      %D
\uput[l](-1.4,-1.6){\textcolor{red!90!black}{\texttt{C}}}
\uput[r](-1.2,-2){\textcolor{orange}{\texttt{B}}}
\uput[r](0.5,2.5){\textcolor{blue}{\texttt{A}}}
\uput[d](0.3,2.9){\textcolor{green!60!black}{\texttt{~D}}}
\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1}
\end{pspicture*}
\end{center}\vspace{3mm}
\end{enumerate}
\end{exercice}

