\begin{exercice}
Soit $f:x\mapsto \e^{x}$ et  $g$ une fonction définie et \mbox{dérivable}  sur $\mathbb{R}$ telle que $g'(x)\neq0$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.\\
On note respectivement  $\mathscr{C}_{f}$ et $\mathscr{C}_g$ leur courbe \mbox{représentative} dans un repère orthonormée $\left(O~;~\vec{i},~\vec{j}\right)$.\vspace{2mm}
\begin{enumerate}
\item  Soit $a$ un réel. Démontrer que la tangente à $\mathscr{C}_{f}$ au point $A$ d'abscisse $a$ coupe l'axe des abscisses au point $H$ d'abscisse $a-1$.
\item  Soit $B$ le projeté orthogonal de $A$ sur l'axe des abscisses.  Démontrer que $\overrightarrow{HB} = \overrightarrow{i}$
\item Soit $m$ un  réel, $M$ le point de $\mathscr{C}_{g}$ d'abscisse $m$, $N$ son projeté orthogonal sur l'axe des abscisses et
$P$ le point d'intersection de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathscr{C}_{g}$ au point $M$ avec l'axe des abscisses.\vspace{3mm}
\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=1.8cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-.8,-0.4)(2.9,2.2)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](-1,0)(3,3)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-1,-0.5)(2.9,2.2)
\uput[dl](0,0){$O$}
\psline{->}(0,0)(1,0)
\psline{->}(0,0)(0,1)
\uput[d](0.5,0){$\overrightarrow{i}$}
\uput[-135](0,0.5){$\overrightarrow{j}$}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{-1.0}{3.0}{2*2.718281828^(-(x+1))}
\psplot[linecolor=H1]{-1}{3}{(--0.49-0.23*x)/1}
\psline[linestyle=dashed](1.18,0.23)(1.18,0)
\rput[bl](-0.7,1.7){$\mathscr{C}_{g}$}
\rput[bl](-0.7,0.6){$\mathcal{T}$}
\psdots(1.18,0.23)
\uput[90](1.18,0.23){$M$}
\psdots(1.18,0)
\uput[-90](1.18,0){$N$}
\psdots(2.18,0)
\uput[-90](2.18,0){$P$}
\end{pspicture*}
\end{center}\vspace{3mm}
\item Prouver que $P$ a pour coordonnées $\left(m-\dfrac{g(m)}{g'(m)}~;~0\right)$.\vspace{2mm}
\item Existe-t-il une fonction $g$ vérifiant $g(0)=2$\\ et $\overrightarrow{NP}=\vec{i}$ ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

