\begin{exercice}
On note $f_{n}$ avec $n\in\mathbb{N}$, la fonction définie sur l'ensemble $\mathbb{R}$ des nombres réels par :
\begin{center}$f_{n}(x) = \dfrac{\e^{-nx}}{1 + \e^{-x}}$.\end{center}
On note  $\mathscr{C}_{n}$ la courbe  représentative de $f_{n}$  dans un
repère orthogonal $(O~;~\vec{i},~\vec{j})$.
Les courbes $\mathscr{C}_{0},~\mathscr{C}_{1},~\mathscr{C}_{2}$ et $\mathscr{C}_{3}$ sont représentées ci-dessous :
\begin{center}
\psset{unit=3.5cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-0.2)(1.7,1.2)
\psgrid[subgriddiv=2,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](-1,0)(2,2)
\psaxes[linewidth=0.8pt,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.6,-0.2)(1.7,1.2)
\uput[d](1.6,0){$x$} \uput[l](0,1.1){$y$}
\uput[d](-0.5,0.4){\textcolor{blue}{$\mathscr{C}_{0}$}}\uput[d](-0.5,0.65){\textcolor{green!60!black}{$\mathscr{C}_{1}$}}
\uput[d](-0.45,0.9){\textcolor{red}{$\mathscr{C}_{2}$}}\uput[d](-0.3,1){\textcolor{orange}{$\mathscr{C}_{3}$}}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=blue]{-1}{2}{1 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=green!60!black]{-1}{2}{2.71828 x neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=red]{-1}{2}{2.71828 x 2 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=orange]{-1}{2}{2.71828 x 3 mul  neg exp 1 2.71828 x neg exp add div}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, les courbes $\mathscr{C}_{n}$ sont concourantes.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le sens de variation de $f_{0}$.
	\item Préciser les limites de la fonction $f_{0}$ en $- \infty$ et $+ \infty$.\par Interpréter graphiquement ces limites.
	\item Dresser le tableau de variation de $f_{0}$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item \label{exoref} Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}$,  $f_{0}(x) =  f_{1}(-x)$.
	\item En déduire les limites de la fonction $f_{1}$ en $- \infty$ et $+ \infty$, ainsi que son sens de variation.
	\item Interpréter géométriquement le résultats obtenu au \RefItem{exoref} pour les courbes $\mathscr{C}_{0}$ et $\mathscr{C}_{1}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que pour tout entier naturel $n \geqslant 2$ et pour tout réel $x$, on a :
		\begin{center}$f_{n}(x) = \dfrac{1}{\e^{nx} + \e^{(n - 1)x}}$.\end{center}
	\item  Étudier les limites de $f_{n}$ en $- \infty$ et en $+ \infty.$
	\item  Calculer la dérivée $f_{n}'(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $f_{n}$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

