\begin{exercice}[Désintégration atomique]
Le nombre d'atomes d'une source radioactive tend à diminuer dans le temps. On note $N$, la fonction qui, à chaque instant $t$, associe le nombre de noyaux $N(t)$.\\
En observant ce phénomène sur un laps de temps $\Delta t$, on a établi que le nombre d'atomes varie de $\Delta N(t)$ selon la formule suivante :
\begin{center}$\dfrac{\Delta N(t)}{N(t)}=-\lambda\Delta t$\end{center}
où $\lambda$ est une constante dépendant uniquement du type de noyaux observés.
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item La durée de demi-vie du radon 220 est de $56$ s.\par
Déterminer une valeur approchée de la constante $\lambda$ dans le cas du radon 220.
\item Un échantillon de 238 g contient environ \mbox{$6,02\times10^{23}$} noyaux d'uranium.\par
Déterminer le temps d'attente pour que la \mbox{quantité} observée pèse :
\begin{colitemize}{2}
\item 119 g
\item 59 g
\end{colitemize}
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Démontrer que $\dfrac{\Delta N(t)}{\Delta t}=-\lambda N(t)$.\vspace{1mm}
\item On suppose que $N$ est dérivable sur $[0~;~+\infty[$.\par
Démontrer que  $N'(t)=-\lambda N(t)$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

