\begin{exercice}[Courbes de Gauss]
Soit $k\in \mathbb{R}_{\small{\text{+}}}^*$  et la fonction $g_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{center}
$g_k(x)=\e^{-kx^2}$.
\end{center}
On appelle \textbf{courbe de Gauss} la courbe représentative    de $g_k$ dans un repère orthogonal et on la note $\mathscr{C}_k$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que $g_k$ est \textbf{paire} c'est-à-dire que, pour tout réel $x$, $g_k(-x)=g_k(x)$.\par
    Qu'en déduit-on pour $\mathscr{C}_k$ ?
\item Soit $a$ et $b$ deux réels strictement positifs.\par
    Démontrer que : $a\leqslant b \Rightarrow g_a\geqslant g_b$.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer $g_k''$, la dérivée seconde de $g_k$.
\item Résoudre l'équation $g_k''(x)=0$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on s'intéresse au cas où $k=\dfrac{1}{2}$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\alpha>0$ tel que $g_k''(\alpha)=0$.
\item Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à $\mathscr{C}_\frac{1}{2}$ au point $I$ d'abscisse $1$.
\item Justifier que $\Delta$ est de part et d'autre de  $\mathscr{C}_\frac{1}{2}$ au niveau du  point $I$.\par
    On dit que $I$ est un \textbf{point d'inflexion} de $\mathscr{C}_\frac{1}{2}$.
    \begin{center}
\psset{unit=1.cm}
\begin{pspicture*}(-3.2,-0.5)(3.2,1.7)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](-4,0)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.pt,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-3.2,-0.5)(3.2,1.7)
\uput[d](3,0){$x$} \uput[l](0,1.5){$y$} \uput[45](1,0.60653){$I$}
\uput[u](-1.5,0.3){\textcolor{red}{$\mathscr{C}_{\frac{1}{2}}$}}
\uput[45](0.2,.95){\textcolor{green!60!black}{$\Delta$}}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=red,linewidth=0.8pt]{-3}{-0.45}{2.71828 0.5 x 2 exp mul neg exp}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=red,linewidth=0.8pt]{-0.25}{3}{2.71828 0.5 x 2 exp mul neg exp}
\psline[linecolor=green!60!black,linewidth=0.8pt]{<->}(0,1.21306)(2,0)
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](1,0.60653){.07}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\item Démontrer que toute courbe de Gauss admet  deux points d'inflexion d'abscisses  solutions de l'équation $g_k''(x)=0$.\par
\item Démontrer que tous les points d'inflexion des courbes de Gauss sont alignés.
\end{enumerate}
\end{exercice}

