\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :
\begin{center}$f(x) = \e^x - x - 1$,\end{center}
Dans un repère orthonormé, on a tracé sa courbe \mbox{représentative} $\mathscr{C}$   et la droite $\mathscr{D}$ d'équation $y = - x - 1$.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-4.2,-1.8)(3.2,2.8)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](-5,-2)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-4.2,-1.8)(3.2,2.8)
\psplot[linecolor=red,linewidth=0.8pt]{-4.2}{3.2}{2.71828 x exp x sub 1 sub}
\psline[linecolor=green!60!black,linewidth=0.8pt](-4,3)(1,-2) \uput[dr](0,0){O}
\uput[dr](1.1,1){\textcolor{red}{$\mathscr{C}$}} \uput[r](0.5,-1.5){\textcolor{green!60!black}{$\mathscr{D}$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Soit  $a\in\mathbb{R}$.  Écrire, en  fonction de  $a$, une
      équation de la  tangente $\mathcal{T}$ à $\mathscr{C}$ au point $M$ d'abscisse $a$.
\item Cette tangente $\mathcal{T}$ coupe la droite $\mathscr{D}$ au point $N$ d'abscisse
      $b$.
Vérifier que $b-a = -1$.
\item  En  déduire une méthode de construction de la
tangente $\mathcal{T}$ à $\mathscr{C}$ au point $M$ d'abscisse $1,5$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le signe de $f$.
\item Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :
\begin{colitemize}{2}
\item $\e^{\tfrac{1}{n}} \geqslant 1 + \dfrac{1}{n}$ \item $\e^{\tfrac{-1}{n+1}} \geqslant 1 - \dfrac{1}{n+1}$
\end{colitemize}
\item Démontrer alors que, pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :
\begin{center}$\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \leqslant \e  \leqslant \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n + 1}$.\end{center}
\item En déduire $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

