\begin{exercice}[Un gros $\boldsymbol{BOUM}$ !]
Soit la fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ :
\begin{center}
$f:x\mapsto \dfrac{4}{\e^x+1}$.
\end{center}
On note $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère \mbox{orthonormé} d'origine $O$.

\partie \label{partie_A_BOUM}
 Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :\vspace{-2mm}
\begin{center}$g(x)=\e^x-x\e^x+1$.\end{center}\vspace{-6mm}
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $g$.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}g(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}g(x)$.
\item Montrer que l'équation $g(x)=0$ n'a qu'une seule solution $\alpha$.\par
Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$. \label{alpha}
\item Démontrer que $\e^{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha-1}$.
\item Étudier  le signe de $g(x)$.
\end{enumerate}
\partie
 \begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-0.4)(3.7,3.5)
\psgrid[subgriddiv=1,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3,subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](-2,-0.4)(4,4)
\psaxes[linewidth=1.pt,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-1.2,-0.4)(3.7,3.5)
\uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,3.3){$y$}
\uput[-135](0,0){$O$} \uput[-90](1.5,0){$B$}
\uput[45](1.5,0.7297){$M$} \uput[180](0,0.7297){$U$}
\rput[0](2.5,0.5){\textcolor{red}{$\mathscr{C}$}}
\psplot[plotpoints=5000,linecolor=red,linewidth=0.8pt]{-1.2}{3.5}{4 2.71828 x exp 1 add div}
\psframe[fillstyle=hlines,fillcolor=green!60!black,hatchcolor=green!60!black,hatchwidth=1pt](0,0)(1.5,0.7297)
%\psline[linecolor=H1,linewidth=0.8pt]{<->}(0,1.21306)(2,0)
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](1.5,0){.05}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](1.5,0.7297){.05}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](0,0.7297){.05}
\end{pspicture*}
\end{center}


Soit $M$ un point de $\mathscr{C}$ et les projetés $B$ et $U$ de $M$, respectivement sur l'axe des abscisses et  des ordonnées.
\begin{enumerate}
\item  Soit $\mathcal{A}$ la fonction qui, à tout $x\in\mathbb{R}^{\small{\text{\textbf{+}}}}$, associe l'aire du rectangle $BOUM$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $\mathcal{A}(x)$.
\item Démontrer que $\mathcal{A}'(x)$ est du signe de $g(x)$.
\item En déduire les variations de $\mathcal{A}$.
\end{enumerate}
\item Montrer que l'aire du rectangle $BOUM$ est maximale lorsque $M$ a pour abscisse $\alpha$.\par
Déterminer un encadrement de cette aire maximale déduit de celui de $\alpha$ obtenu à la question \RefItem{alpha} partie \RefPartie{partie_A_BOUM}.
\item Démontrer que la tangente à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $\alpha$ est  parallèle à la droite $(BU)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

