\definecolor{algobleu}{HTML}{0000cc}
\definecolor{algomarron}{HTML}{800000}
\definecolor{algobeige}{HTML}{bb8800}
\definecolor{algoorange}{HTML}{DD6F06}
\definecolor{algoviolet}{HTML}{800080}
\newcommand{\bleu}[1]{\textcolor{algobleu}{#1}}
\newcommand{\marron}[1]{\textbf{\textcolor{algomarron}{#1}}}
\newcommand{\beige}[1]{\textbf{\textcolor{algobeige}{#1}}}
\newcommand{\orange}[1]{\textbf{\textcolor{algoorange}{#1}}}
\newcommand{\violet}[1]{\textcolor{algoviolet}{#1}}

\begin{activite}[Vers une nouvelle fonction]\label{euler}
On admet qu'il existe une fonction définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ telle que $f'=f$ et $f(0)=1$.\\
Appliquons la \MotDefinition[Méthode d'Euler]{méthode d'Euler}[Méthode d'Euler]{} pour  approcher la courbe représentative de $f$ sur $[0~;~1]$.
\partie[Une construction « géométrique »]\vspace{-6mm}
\begin{enumerate}
\item Traduire que $f$ est dérivable en tout $x_0\in\mathbb{R}$ avec la définition du nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et en déduire que $f'=f$.
\item En déduire  $f(x_0+h)\approx f(x_0)(1+h)$.
\end{enumerate}\vspace{-4mm}
Ainsi, la fonction $h\mapsto f(x_0)(1+h)$ est une fonction affine qui approche $f$ au voisinage de $x_0$ et on peut même démontrer que c'est la \textbf{meilleure approximation affine} de la fonction $f$ au voisinage de $x_0$.  On va s'en servir pour la suite.\\
Soit $n$ un entier naturel non nul et $x_k$ le réel défini pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$ par :
\begin{center}
$x_0=0$ et $x_{k+1}=x_k+\dfrac{1}{n}$.
\end{center}
On subdivise ainsi l'intervalle $[0~;~1]$ en $n$ intervalles réguliers de longueur $\dfrac{1}{n}$.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item Combien y a-t-il de nombres  $x_k$ et quel type de progression suivent-ils ?\par
      En déduire une expression de $x_k$ en fonction de $k$ et $n$.
\item Dans cette question, on traite le cas particulier où $n=10$.On note $y_k=f(x_{k})$.
\begin{enumerate}
\item En utilisant la meilleure approximation affine au voisinage de $x_k$, montrer que  :
    \begin{center}$f(x_{k+1})=y_{k+1}\approx 1,1 y_k$.\end{center}
\item Quel type de progression suivent (approximativement) les nombres $y_k$ ?
\item En déduire une expression de $y_k$ en fonction de $k$.
\end{enumerate}
\item  Généralisons pour $n\geqslant1$ quelconque. Montrer que, pour tout $k\in\left\{0; 1; \cdots; n\right\}$ :
\begin{center}$y_k\approx\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^k$.\end{center}
\end{enumerate}

\partie[Des courbes qui se rapprochent]
Dans cette partie, on utilise un logiciel de géométrie dynamique pour construire un nuage de $n+1$ points afin que lorsque $n$ grandit, on approche de mieux en mieux la courbe représentative de la fonction $f$ qui nous intéresse.  \begin{enumerate}
\item Ouvrir une fenêtre dans le logiciel. Créer un curseur entier $n$ variant de $1$ à $1\,000$.
\item Créer la liste \texttt{XX} des abscisses $x_k$ telle que $\texttt{XX}=\left\{\dfrac{0}{n}, \dfrac{1}{n}, \dfrac{2}{n}, \cdots, \dfrac{n}{n}\right\}$.\par
  Créer de façon analogue la liste \texttt{YY} des ordonnées $y_k$.
  \item À partir des listes \texttt{XX} et \texttt{YY}, créer le nuage de points de coordonnées $(x_k~;~y_k)$.
\item Augmenter la valeur du curseur $n$.
\item \textit{On appelle « ajustement graphique » un traitement appliqué à un ensemble de points et destiné à obtenir, si cela est possible, l'équation d'une courbe qui  passe  au plus près de ces points. Par exemple, si des points semblent alignés, un ajustement linéaire va donner l'équation d'une droite qui approche au mieux ces points.}\\
Appliquer à l'aide du logiciel un ajustement exponentiel au nuage de points.
On obtient une courbe d'équation $y=a\e^{bx}$. En variant la valeur du curseur $n$, que remarque-t-on ?
    \end{enumerate}



    \begin{center}
\psset{xunit=12.0cm,yunit=3.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=5pt 0,linewidth=1pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.08,-0.25)(1.2,2.8)
\psgrid[subgriddiv=10,linewidth=0.5pt,gridcolor=A3, subgridcolor=A3,gridlabels=0pt](0,0)(1.,2.7)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.1,Dy=0.2,ticksize=-2pt,subticks=1]{->}(0,0)(0,0)(1.,2.8)
\psline[linewidth=2pt,linecolor=Gris3](0.5,0.75)(0.75,0.75)
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=1pt,fillcolor=blue](0.525,0.75){.1}
\uput[u](0.525,0.75){\textbf{\texttt{\textcolor{blue}{n} = 10}}}
\psplot[linecolor=red,plotpoints=5000]{0}{1}{EXP(x)}
\psdots[dotsize=3pt,dotstyle=*](0.,1.)
\psdots[dotsize=3pt,dotstyle=*](0.1,1.1)
\psdots[dotsize=3pt,dotstyle=*](0.2,1.21)
\psdots[dotsize=3pt,dotstyle=*](0.3,1.331)
\psdots[dotsize=3pt,dotstyle=*](0.4,1.4641)
\psdots[dotsize=3pt,dotstyle=*](0.5,1.61051)
\psdots[dotsize=3pt,dotstyle=*](0.6,1.771561)
\psdots[dotsize=3pt,dotstyle=*](0.7,1.9487171)
\psdots[dotsize=3pt,dotstyle=*](0.8,2.1435888)
\psdots[dotsize=3pt,dotstyle=*](0.9,2.3579477)
\psdots[dotsize=3pt,dotstyle=*](1.,2.59374246)
\end{pspicture*}
\end{center}

    \smallskip

 \begin{cadre}[A1][A4]
Nous avons posé le problème : existe-t-il une fonction $f$ vérifiant $f'=f$ et $f(0)=1$ ?\\
 $f'=f$ est une \MotDefinition{équation différentielle}{}. L'inconnue n'est plus un nombre mais une fonction dont la dérivée apparaît aussi dans l'équation. $f(0)=1$ est une \textbf{condition initiale}.\\
Nous avons conjecturé que ce problème ou cette équation différentielle admet une  solution : la \textbf{fonction exponentielle}. Son existence sera admise mais son unicité sera prouvée.
 \end{cadre}


\end{activite}
