\begin{TP}[Approximations polynomiales]
\partie{Généralisation}
\begin{cadre}[A1][A4]
La factorielle d'un entier naturel $n$ est le produit des nombres entiers strictement positifs, inférieurs ou égaux à $n$.
Cette opération est notée avec un point d'exclamation :
\begin{center}
$\displaystyle n! = \prod_{1\leqslant k\leqslant n} k = 1\times 2\times 3\times \cdots \times (n-1) \times n$.
\end{center}
ce qui se lit soit « factorielle de $n$ », soit « factorielle $n$ » soit « $n$ factorielle ».\\
Cette notation a été introduite en 1808 par Christian Kramp.
 \end{cadre}
Soit la fonction $g_n$ définie par :
\begin{center} $g_n(x)=1+\dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^{2}}{2!}+\cdots+\dfrac{x^{n}}{n!}$.\end{center}
\begin{enumerate}
  \item À l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique :
   \begin{itemize}
   \item créer un curseur $n$ entier variant de 0 à 10 ;
   \item créer une liste de terme général $\dfrac{x^k}{k!}$ pour $k$ variant de 0 à $n$ ;\vspace{1mm}
     \item représenter graphiquement la somme des termes de cette liste.
   \end{itemize}
    Que représente-t-on ainsi sur le graphique ?
  \item Faire varier $n$. Que peut-on conjecturer ?
  \item Reproduire la procédure précédente avec la fonction $h_n(x)=g_n(x)+\dfrac{x^{n}}{n!}$.\par Que pouvez-vous conjecturer ?
\item  Dans cette question, on va démontrer la conjecture précédente pour le cas $x=1$.\par
Soit un entier naturel $n\geqslant 2$ et deux fonctions $a$ et $b$ définies sur $[0~;~1]$ par :\par
\begin{center}$a(x)=\e^{-x}\left(1+ \dfrac{x}{1!} +\dfrac{x^{2}}{2!}+\cdots +\dfrac{x^{n}}{n!}\right)$ ~~et~~ $b(x)=a(x)+\e^{-x}\dfrac{x^{n}}{n!}$.\end{center}
\begin{enumerate}
  \item Déterminer le sens de variation de $a$. En déduire que $a(1)<1$.
  \item Déterminer le sens de variation de $b$. En déduire que $b(1)>1$.
  \item En vous aidant des deux questions précédentes, démontrer  l'encadrement suivant :
\begin{center}  $1+\dfrac{1}{1!}+ \dfrac{1}{2!} + \cdots+ \dfrac{1}{n!} < \e < 1+\dfrac{1}{1!}+ \dfrac{1}{2!} + \cdots+ \dfrac{1}{n!}+\dfrac{1}{n!}$.\end{center}
  \item
       Écrire un algorithme qui demande $n$ en entrée et renvoie un encadrement de $\e$.\par
       Le programmer sous AlgoBox et le faire tourner pour $n=7$.
 \end{enumerate}
        \end{enumerate}
\end{TP}\vspace{-5mm}


