\begin{TP}[Approximations polynomiales]
On sait que $g_1(x)=x+1$ est la meilleure approximation affine de la fonction exponentielle au voisinage de 0. On dit aussi que c'est une \textbf{approximation polynomiale d'ordre 1}.\\
 Le but de ce TP est de chercher des approximations polynomiales  d'ordre $n\geqslant2$, c'est-à-dire des polynômes $g_n(x)$ de degré $n$ qui approchent au mieux $\e^x$ au voisinage de 0. À la fin, nous nous en servirons pour encadrer précisément le nombre d'Euler $\e$.
\partie{Approximation polynomiale d'ordre 2}
Soit $f(x)=\e^{x}$ et $g_2(x)=ax^2+bx+c$.
  \begin{enumerate}
          \item Étant donné que $f(0)=f'(0)=f''(0)=1$, considérer qu'il en va de même pour $g_2$ et déterminer les réels $a$, $b$ et $c$.  \label{poly}
          \item On souhaite conjecturer que $g_2(x)$ est le polynôme de degré 2 qui approche le mieux $f(x)$ au voisinage de 0.
            \begin{enumerate}
 \item À l’aide d'un logiciel de géométrie dynamique, tracer la courbe représentative de $f$.
 \item Créer un curseur $h$ variant de 0 à 1 avec un pas de 0,1.
 \item Créer les points $I(0~;~1)$, $A(-h~;~f(-h))$ et $B(h~;~f(h))$.
 \item Appliquer un \textbf{ajustement polynomial} aux points $I$, $A$ et $B$ pour obtenir un polynôme de degré 2 dont la courbe représentative passe au mieux par ces trois points.\par
\item Réduire le curseur $h$ et éventuellement aussi son pas pour améliorer la précision.
\item Le polynôme d'ajustement fourni correspond-il à celui trouver à la question \RefItem{poly} ?
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
\end{TP}\vspace{-5mm}


