
\begin{enigme}[Continue partout, dérivable nulle part]



 Augustin-Louis Cauchy (1789-1857)  croyait qu’une fonction continue était toujours dérivable sauf éventuellement en quelques points isolés. Mais vers 1830, Bernard Bolzano exhiba le premier cas de fonction continue partout mais nulle part dérivable.  En 1872, Karl Weierstrass publia une famille  de fonctions du même genre.\\[2mm]
\begin{minipage}{0.6\linewidth}
En 1903, Teiji Takagi a décrit une courbe fractale appelée \textbf{courbe du blancmange}, surnommée ainsi pour sa ressemblance à l'entremets du même nom, représentant la fonction blanc définie sur $\mathbb{R}$ par :
 \[\text{blanc}(x)=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{1}{2^k}\left|2^kx-\left\lfloor 2^kx+\dfrac{1}{2} \right\rfloor\right|.\]
$\lfloor x\rfloor$  désigne la partie entière par défaut (\textit{floor}, « plancher ») de $x$.\\
La fonction blanc est définie et continue sur $\mathbb{R}$, périodique de période 1 mais elle n'est dérivable en aucun point.
 \end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.35\linewidth}
\setlength\fboxsep{0pt}    % séparation text - contour
\setlength\fboxrule{1pt}   % épaisseur du trait
\fbox{\includegraphics[scale=0.2]{blanc-mange.eps}}
\end{minipage}\\[-1mm]
  \begin{enumerate}
 \item À quoi calculer $\left\lfloor x+\dfrac{1}{2} \right\rfloor$ revient-il plus simplement en pratique ?
\item
  \begin{enumerate}
\item Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique et créer un curseur entier $k$.
\item Représenter la fonction $f_k$ définie par $f_k(x)=\dfrac{1}{2^k}\left|2^kx-\left\lfloor 2^kx+\dfrac{1}{2} \right\rfloor\right|$.
\item Faire varier le curseur $k$. Comment peut-on désigner les courbes obtenues ?
\item Trouver un moyen d'ajouter les fonctions $f_k$ pour $k$ variant de 0 jusqu'à 10 afin d'obtenir une courbe qui approche la courbe du blancmange.
 \end{enumerate}
 \end{enumerate}
 \begin{center} 	 	 	\definecolor{ivory}{rgb}{1, 1, 0.94}
\psset{xunit=8cm,yunit=8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.2,-0.08)(1.2,0.68)
\psgrid[xunit=.5cm,yunit=.5cm,linewidth=0.5pt,subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-4,0)(20,16)
\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,fillcolor=ivory,linewidth=0.5pt]
{
\psline(0,0)(0,0) % ligne verticale: (a,0)(a,f(a))
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.5pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{0}{1}
{abs(x-round(x))+abs(2*x-round(2*x))/2+abs(4*x-round(4*x))/4+abs(8*x-round(8*x))/8+abs(16*x-round(16*x))/16
+abs(32*x-round(32*x))/32+abs(64*x-round(64*x))/64+abs(128*x-round(128*x))/128+abs(256*x-round(256*x))/256+abs(512*x-round(512*x))/512
+abs(1024*x-round(1024*x))/1024+abs(2048*x-round(2048*x))/2048+abs(4096*x-round(4096*x))/4096}
\psline(1,0)(1,0) % ligne verticale: (b,f(b))(b,0)
}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.5pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{-0.2}{1.2}
{abs(x-round(x))+abs(2*x-round(2*x))/2+abs(4*x-round(4*x))/4+abs(8*x-round(8*x))/8+abs(16*x-round(16*x))/16
+abs(32*x-round(32*x))/32+abs(64*x-round(64*x))/64+abs(128*x-round(128*x))/128+abs(256*x-round(256*x))/256+abs(512*x-round(512*x))/512
+abs(1024*x-round(1024*x))/1024+abs(2048*x-round(2048*x))/2048+abs(4096*x-round(4096*x))/4096}
\uput[u](-1.35,-2.3){\textcolor{red}{$\mathscr{C}_f$}}
\psaxes[comma,labelFontSize=\normalsize,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.25,Dy=0.25,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.08)(1.2,0.68)
\end{pspicture*}
\end{center}

\vspace{-2cm}
\end{enigme} 

