\begin{propriete}[Dérivée de $\boldsymbol{x\mapsto u(ax+b)}$]
Soit deux réels $a$ et $b$. Si $u$ est dérivable sur $I$ alors :\\
La fonction $f:x\mapsto u(ax+b)$ est dérivable là où $(ax+b)\in I$ et $f'(x)=au'(ax+b)$.
 \end{propriete}

\begin{preuve}
  Soit  $u$ dérivable sur $I$ et deux réels $a$ et $b$ tels que $x\in I \Rightarrow (ax+b)\in I$.
  \begin{itemize}
  \item Si $a=0$, alors $f:x\mapsto u(b)$ est constante et on a
    bien $f'(x)=0=0\times u'(b)$.
  \item   Prenons $a\neq 0$. La fonction $u$ est  dérivable sur $I$ donc :\\
    pour tous $X\in I$ et $H$ réel tels que $(X+H)\in I$ :
    $\displaystyle\lim_{H\to0}\dfrac{u(X+H)-u(X)}{H}=u'(X)$.
  \end{itemize}

  Posons $X=ax+b$ et $H=ah$. Alors, $H$ tend vers 0 vu que $h$ tend vers 0 et que $a\neq0$. Ainsi :\\
  $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{u(ax + b + ah) - u(ax +
    b)}{ah}\hspace{-.7mm}=\hspace{-.7mm} u'(ax + b)$
  soit
  $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{u(a(x+h) + b) - u(ax +
    b)}{h}\hspace{-.7mm}=\hspace{-.7mm}au'(ax + b)$.
\end{preuve}

