\begin{propriete}[Dérivée de $\boldsymbol{u^n}$ et $\boldsymbol{u^{-n}}$]
Soit $n\in\mathbb{N}^*$. Si $u$ est dérivable sur  $I$ alors :
\begin{itemize}
\item La fonction $u^n$ est dérivable sur $I$ et  $(u^n)'=nu'u^{n-1}$.
\item La fonction $u^{-n}$ est dérivable sur $I$ sauf là où $u$ s'annule et  $\left(u^{-n}\right)'=-nu'u^{-n-1}$.
\end{itemize}
\end{propriete}

\begin{preuve}
\begin{itemize}
   \item On démontre par récurrence. Voici l'initialisation et l'hérédité :\par
 $\left(u^1\right)'=u'=1 \times u'u^{1-1}$. La proposition est donc initialisée au rang 1.\par
Supposons qu'il existe un entier $k\in \mathbb{N^{*}}$ tel que la propriété « $\left(u^k\right)'=ku'u^{k-1}$ » soit vraie.\par
   $\left(u^{k+1}\right)'=\left(u^ku\right)'=\left(u^k\right)'u+u^ku'=ku'u^{k-1}u+u^ku'=(k+1)u'u^k$.\par
    La propriété est  encore vraie au rang suivant donc elle est héréditaire.
\item Si $u$ est dérivable sur $I$, alors $\dfrac{1}{u}$ est dérivable sur $I$ sauf là où $u$ s'annule.\par
$\left(u^{-n}\right)'=\left(\dfrac{1}{u^n}\right)'=\left[\left(\dfrac{1}{u}\right)^n\right]'=n\left(\dfrac{1}{u}\right)'\left(\dfrac{1}{u}\right)^{n-1}$ d'après la première propriété. \par 
Ainsi : $\left(u^{-n}\right)'=n\left(-\dfrac{u'}{u^2}\right)\dfrac{1}{u^{n-1}}=-\dfrac{nu'}{u^{n+1}}=-nu'u^{-n-1}$.
\end{itemize}
\end{preuve}

