\section{Dérivées des fonctions composées}

Dans cette partie, $u$ désigne une fonction et $I$ un intervalle.

\begin{propriete}[Dérivée de $\boldsymbol{\sqrt{u}}$]
\MotDefinition[Dérivée de $\boldsymbol{\sqrt{u}}$]{}[Dérivée de u]{}
Si $u$ est dérivable et strictement positive sur   $I$, alors $\sqrt{u}$ est dérivable sur $I$ et $\left(\sqrt u\right)'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$.
\end{propriete}

 \begin{preuve}
Soit un réel $a\in I$ et un réel $h>0$ tel que $a+h$ soit dans $I$.\par
    On calcule le taux d'accroissement de $\sqrt{u}$ entre $a$ et $a+h$. \par
       $\dfrac{\sqrt{u(a+h)}-\sqrt{u(a)}}{h}=\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h\left(\sqrt{u(a+h)}+\sqrt{u(a)}\right)} = \dfrac{u(a+h)-u(a)}{h} \times \dfrac{1}{\sqrt{u(a+h)}+\sqrt{u(a)}}$.\par
       Or, la fonction $u$ est dérivable sur $I$ donc $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{u(a+h)-u(a)}{h}=u'(a)$. \par
       D'où $\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{\sqrt{u(a+h)}-\sqrt{u(a)}}{h}= u'(a) \times \dfrac{1}{2\sqrt{u(a)}}=\dfrac{u'(a)}{2\sqrt{u(a)}}$.
\end{preuve}

