\begin{propriete}[Du signe de $\boldsymbol{f'(x)}$ aux variations de $\boldsymbol{f}$]
Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
\begin{itemize}
\item Si $f'$ est strictement positive sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
\item Si $f'$ est strictement négative sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
\item Si $f'$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
\end{itemize}
\end{propriete}
\begin{propriete}[Du signe de $\boldsymbol{f'(x)}$ aux variations de $\boldsymbol{f}$]
Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
\begin{itemize}
\item Si $f'$ est strictement positive sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement croissante sur $I$.
\item Si $f'$ est strictement négative sur $I$, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule, alors $f$ est strictement décroissante sur $I$.
\item Si $f'$ est nulle sur $I$, alors $f$ est constante sur $I$.
\end{itemize}
\end{propriete}

 \begin{remarque}
  « sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s'annule » signifie que la courbe représentative de $f$ peut admettre des tangentes horizontales mais ne peut avoir à aucun endroit la forme d'un segment parallèle à l'axe des abscisses.\\[2mm]
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
 \begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.6)(4.5,3.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-2,-1)(5,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-1.5,-0.6)(4.5,3.5)
\psplot[linestyle=solid,linecolor=red]{-1.5}{4.5}{(x-2)^3/10+2}
\rput[0](3.75,3.25){$\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green!60!black]{<->}(0.5,2)(3.5,2)
\uput[u](2,2){\begin{tabular}{@{}c@{}}tangente \\ horizontale\end{tabular}}
\uput[d](2,2){$M$}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](2,2){.07}
\end{pspicture*}
\end{center}\small
\emph{$f'$ est strictement positive sauf en 2 où elle s'annule}\\
\emph{donc $f$ est  strictement croissante sur $\mathbb{R}$.}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.48\linewidth}
\begin{center}
\psset{xunit=.8cm,yunit=.8cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.5,-0.6)(4.5,3.5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-2,-1)(5,4)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-1.5,-0.6)(4.5,3.5)
\psplot[linestyle=solid,linecolor=red]{-1.5}{1}{(x-1)^3/10+2}
\psline[linecolor=green!60!black](1,2)(2,2)
\psplot[linestyle=solid,linecolor=red]{2}{4.5}{(x-2)^3/10+2}
\rput[0](3.75,3.25){$\boldsymbol{\mathscr{C}_f}$}
\uput[u](1.5,2){\begin{tabular}{@{}c@{}}segment \\ horizontal\end{tabular}}
\uput[d](1,2){$A$}
\uput[d](2,2){$B$}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](1,2){.07}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.8pt,fillcolor=white](2,2){.07}
\end{pspicture*}
\end{center}\small
\emph{$f$' est strictement positive sur $]-\infty~;~1[~\cup~]2~;~\infty[$}\\
\emph{donc $f$ n'est pas \textbf{strictement} croissante sur $\mathbb{R}$.}
\end{minipage}
\end{remarque}

