
 \begin{exercice}[Un exercice qui a du ressort]
On étudie les oscillations (supposées non amorties) d'un pendule
élastique vertical constitué d’un ressort à spires non jointives, de masse négligeable
et de constante de raideur $k$, auquel on accroche un solide de masse $m=0,1$ kg.\\
Le ressort s’allonge et un équilibre est atteint. Puis, on étire
le ressort verticalement et on le lâche.\\
La position du centre d’inertie du solide est repérée par
 $x$ (en mètres) en fonction du temps $t$ (en secondes).
  \begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,algebraic=true,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(5,4)
\rput[0](2,2){\includegraphics[scale=1]{ressort.eps}}
\psline{->}(4,3.6571)(4,-1)
\psline(3.9,0.9693)(4.1,0.9693) \uput[r](3.8,0.9693){\rotatebox{45}{$\phantom{-}0$}}
\psline(3.9,0.2543)(4.1,0.2543) \uput[r](3.8,0.2543){\rotatebox{45}{$\phantom{-}0,1$}}
\psline(3.9,1.6843)(4.1,1.6843) \uput[r](3.8,1.6843){\rotatebox{45}{$-0,1$}}
\uput[45](4,-1){\rotatebox{45}{$x(t)$}}
\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt](2.0731,0.9693)(4,0.9693)
\psline[linestyle=dotted,dotsep=2pt](3.2771,0.2543)(4,0.2543)
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt,fillcolor=Blanc](2.0731,0.9693){.05}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt,fillcolor=Blanc](3.2771,0.2543){.05}
\end{pspicture*}
\end{center}
 Un enregistrement de 3 secondes a donné la \mbox{représentation} graphique suivante :
    \begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=10cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.55,-0.11)(3.4,0.17)
\psgrid[xunit=1cm, yunit=0.5cm,subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(0,-2)(6,2)
\psaxes[comma,xAxis=true,yAxis=true,Dx=0.5,Dy=0.05,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.15)(3.4,0.15)
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{0}{3}{0.1*sin(3.14159265*(2*x+0.5))}
\uput[l](0,0.14){$x(t)$} \uput[-135](3.4,0){$t$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement $x(0)$ et $x'(0)$.
\item Pour $t\geqslant0$, on définit la fonction $x$ par :
\[x(t)=\alpha\sin(2\pi t+\varphi) \text{~avec~} 0\leqslant\varphi\leqslant\pi.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $x$ est $1$-périodique.
\item Déterminer $\alpha$ et $\varphi$.
\end{enumerate}
\item L’équation que vérifie l’abscisse $x$ du centre
d’inertie du solide, appelée équation différentielle,  s’écrit :
\[mx''(t)+kx(t)=0.\]
Calculer la valeur exacte de la constante de raideur $k$ du ressort.
\item Étudier le signe de $x'(t)$ sur $[0~;~1]$.\par
En déduire les variations de $x$ sur $[0~;~1]$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


