\begin{exercice}[D'après Bac (Métropole - septembre 2012)]
Soit $f$ une fonction dérivable sur $\mathbb{R}$ dont le tableau de variation est donné ci-dessous où $a$ et $b$ sont deux réels.
\begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, scale=0.8]
  \tkzTabInit[lgt=1.8, espcl=1., color, colorC=H4, colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4, lw=0.3mm]
  {$x$ / 1, $f$ / 2}
  { $-\infty$, $a$, $+\infty$}
  \tkzTabVar{-/$-\infty$,+/$b$,-/$-\infty$}
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
\begin{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f'(x)$ selon les valeurs de $x$.
\item Dans  le repère orthonormé $(O~;~\vec{i}~;~\vec{j})$ ci-dessous, on a tracé  deux  courbes :
\begin{itemize}
\item une courbe $\mathscr{C}_{1}$ qui passe par $A(0~;~-2)$ ;
\item une courbe $\mathscr{C}_{2}$ qui passe par $B\left(0~;\dfrac{1}{2}\right)$.
\end{itemize}
On sait que l'une de ces deux courbes représente la fonction dérivée $f'$ de $f$ et que l'autre représente une fonction $F$ telle que  $F'=f$ sur $\mathbb{R}$.\vspace{5mm}
\begin{center}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-4.3)(5.5,2.3)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=A3,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt](-4,-5)(6,3)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-3.5,-4.3)(5.5,2.3)
\psaxes[linewidth=1.pt,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dr](0,-2){$A$}\uput[ur](0,0.5){$B$}\uput[dl](0,0){$O$}
\uput[u](-2.5,0.8){$\mathscr{C}_{2}$}\uput[u](-2.5,-2.3){$\mathscr{C}_{1}$}
\uput[d](0.5,0){$\vec{i}$}\uput[l](0,0.5){$\vec{j}$}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=0.8pt,linecolor=blue]{-3.5}{4.5}{1 2.71828 x 0.5 mul exp 0.5 mul sub}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=0.8pt,linecolor=red]{-3.5}{5.5}{x dup mul 2 div  2 x mul add   2.71828 x 0.5 mul exp 2 mul  sub}
\end{pspicture*}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer laquelle de ces deux courbes est la courbe représentative de la fonction $f$.  Justifier.
		\item À l'aide de considérations graphiques sur $\mathscr{C}_{1}$ et $\mathscr{C}_{2}$, prouver que $1 < a < 2$ et $b > 0$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on admet que la fonction $f$ est telle que, pour tout réel $x$ :
\[f(x) - 2f'(x) = x.\]
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une fonction affine $g$ telle que pour tout réel $x,\: g(x) - 2g''(x) = x$.
		\item Démontrer que $(f-g)'=\dfrac{1}{2}(f-g)$.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}
\end{exercice}

