\begin{exercice}[D'après Bac]
 Soit   $f$ la fonction définie sur $[0~;~2\pi]$ par :
    \[f(x) =1+\cos x + \dfrac{1}{2}\cos 2x.\]
    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$.
      \item On rappelle la relation : $\sin 2a = 2\sin a\cos a$.\par
      Montrer que, pour         tout réel $x\in[0~;~2\pi]$ :
        \[f'(x)= -\sin x(1+2\cos x).\]
      \end{enumerate}
    \item \label{bac_antilles2}Résoudre dans l'intervalle $[0~;~2\pi]$, l'équation :
      \[\sin x(1+2\cos x)= 0.\]
    \item \label{bac_antilles3}Dresser le tableau de signes de $f'\left(x\right)$ sur $[0~;~2\pi]$.
    \item Déduire des questions \RefItem{bac_antilles2} et \RefItem{bac_antilles3} le tableau de variation de la
      fonction $f$ sur l'intervalle $[0\ ;\ 2\pi]$.\par
      Préciser les ordonnées des points dont l'abscisse $x$ vérifie
      $f'(x) = 0$.
    \end{enumerate}
  \end{exercice}

