\begin{methode*1}[Étudier une fonction trigonométrique\MethodeRefExercice*{TA3_exo_methode_fonction_trigo}]
Il arrive fréquemment qu'une fonction trigonométrique soit périodique
et paire ou impaire. Cela amène alors souvent à étudier d'abord la
fonction sur un intervalle restreint avant de l'étudier sur un
ensemble plus grand.

 \exercice \label{TA3_methode_fonction_trigo}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{3\sin x}{2+\cos x}$ .
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(x)$. Étudier son signe sur $[0~;~\pi]$. En déduire les variations de $f$ sur $[0~;~\pi]$.
  \item Calculer $f(-x)$. En déduire les variations de $f$ sur $[-\pi~;~\pi]$. 
  \item Montrer que $f$ est $2\pi$-périodique.
  \item Tracer la courbe représentative $\mathscr{C}$ de $f$ sur $[0~;~\pi]$ puis sur $[-4\pi~;~4\pi]$.
 \end{enumerate}

 \correction
\begin{enumerate}
    \item $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme quotient de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ avec $2+\cos x\neq0$.\par
   $f'(x)=\dfrac{3\cos x(2+\cos x)-3\sin x(-\sin x)}{\left(2+\cos x\right)^2}=\dfrac{6\cos x+3}{\left(2+\cos x\right)^2}=\dfrac{6\left(\cos x+\tfrac{1}{2}\right)}{\left(2+\cos x\right)^2}$.\par

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
$f'(x)$ est du signe de $\cos x +\dfrac{1}{2}$ sur $[0~;~\pi]$. Or :
\begin{itemize}
\item sur $\left[0~;~\dfrac{2\pi}{3}\right[$, $\cos
  x>-\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \cos x+\dfrac{1}{2}> 0$ ;

\vspace{2mm}
\item sur $\left[\dfrac{2\pi}{3}~;~\pi\right]$, $\cos x< -\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \cos x+\dfrac{1}{2} >0$.
\end{itemize}
Et $f'(x)$ ne s'annule qu'en $\dfrac{2\pi}{3}$.\\
D'où le tableau de variation ci-contre.
\end{minipage}\hspace{.5cm}
\begin{minipage}{0.36\linewidth}
  \begin{center}
 \begin{tikzpicture}[general, xscale=1.1, yscale=0.60]
  \tkzTabInit[lgt=1, espcl=1.2, color, colorC=H4, colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4, lw=0.3mm]
  {$x$ / 1, $f'(x)$ / 1, $f$ / 2}
  {$0$, $\dfrac{2\pi}{3}$, $\pi$}
  \tkzTabLine{ , +,z,-,}
  \tkzTabVar{-/$0$,+/$\sqrt{3}$,-/$0$}
 \end{tikzpicture}
 \end{center}
\end{minipage}\vspace{2mm}

\item
  $f(-x)=\dfrac{3\sin(-x)}{2+\cos(-x)}=\dfrac{-3\sin x}{2+\cos
    x}=-\dfrac{3\sin x}{2+\cos x}=-f(x)$ donc $f$ est impaire.\par
  On peut donc limiter l'étude de $f$ à $[0~;~\pi]$. On peut en
  déduire que la fonction $f$ est décroissante sur
  $[-\pi\ ; -2\dfrac{\pi}{3}]$ et sur $[2\dfrac{\pi}{3}\ ; \pi]$ et
  croissante sur $[-\dfrac{2\pi}{3}\ ; \dfrac{2\pi}{3}]$.

\item
  $f(x+2\pi)=\dfrac{3\sin(x+2\pi)}{2+\cos(x+2\pi)}=\dfrac{3\sin
    x}{2+\cos x}=f(x)$ donc $f$ est $2\pi$-périodique.

\item On trace $\mathscr{C}$ sur $[0~;~\pi]$ puis sur $[-\pi~;~0]$ par
  symétrie centrale puisque $f$ est impaire.\par
  Enfin, comme $f$ est $2\pi$-périodique, on répète le motif tous les
  $2\pi$ par translation.\vspace{2mm}
       \begin{center}
\psset{xtrigLabels,
  trigLabelBase=3,xunit=0.5cm,yunit=0.75cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt
  0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}

\scalebox{.8}{
\begin{pspicture*}(-12.9,-1.9)(12.9,1.9)
\psgrid[xunit=0.523598776cm,subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-13,-3)(13,3)
\psaxes[xunit=0.523598776cm,labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-12.9,-1.9)(12.9,1.9)
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{-12.5663706}{-9.42477796}{(3*sin(x))/(2+cos(x))}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{-6.28318531}{-3.1492654}{(3*sin(x))/(2+cos(x))}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{0}{3.1492654}{(3*sin(x))/(2+cos(x))}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{6.28318531}{9.42477796}{(3*sin(x))/(2+cos(x))}
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{-9.42477796}{-6.28318531}{(3*sin(x))/(2+cos(x))}
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{-3.1492654}{0}{(3*sin(x))/(2+cos(x))}
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{3.1492654}{6.28318531}{(3*sin(x))/(2+cos(x))}
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{9.42477796}{12.5663706}{(3*sin(x))/(2+cos(x))}
\uput[u](3.1416,1){$\mathscr{C}$}
\end{pspicture*}}
\end{center}
  \end{enumerate}
\vspace{-\baselineskip}
\end{methode*1} 
