\begin{methode*1}[Dériver une fonction formée de $\boldsymbol{\cos}$ ou $\boldsymbol{\sin}$\MethodeRefExercice*{TA3_exo_methode_deriv_trigo}]
En général, ce type de fonction définie est dérivable sur $\mathbb{R}$. Si ce n'est pas le cas, on établira d'abord les ensembles de définition et de dérivabilité (\hspace{-0.2cm}\ExerciceRefMethode{TA3_methode_deriv_compo}).
 \exercice \label{TA3_methode_deriv_trigo}
Calculer $f'(x)$. L'écrire sous une forme facilitant l'étude de son signe.
\begin{colenumerate}{3}
  \item $f(x)=\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)$   \item $f(x)=\cos^2 x$  \item $f(x)=\sin x\left(1+\cos x\right)$
 \end{colenumerate}
 \correction
\begin{enumerate}
  \item $f$ est de la forme $u(ax+b)$ avec $u(x)=\sin x$, $a=3$ et $b=\dfrac{\pi}{4}$.\par\vspace{2mm}
  On a $u'(x)=\cos x$ d'où $f'(x)=au'(ax+b)=3\sin\left(3x-\dfrac{\pi}{4}\right)$.
  \item $f$ est de la forme $u^2$ avec $u(x)=\cos(x)$.\par
  On a  $u'(x)=-\sin x$ d'où $f'(x)=2u'(x)u(x)=2(-\sin x)\cos x=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$.
\item $f$ est de la forme $uv$ dont la dérivée est $(u'v+uv')$ avec $u(x)=sin(x)$ et $v(x) =1 +cos(x)$.\par
$f'(x)=  \cos x(1+\cos x)+\sin x(-\sin x) = \cos x+\cos^2 x-\sin^2x $.\par
Or, $\cos^2x+\sin^2x=1$ donc $-\sin^2x=\cos^2x-1$. D'où $f'(x)= 2\cos^2 x+\cos x-1 $.\par
Posons $X=\cos x$. Alors, $f'(x)=2X^2+X-1=(2X-1)(X+1)$ après calcul des racines.\par
Ainsi, $f'(x)=(2\cos x-1)(\cos x+1)$.
  \end{enumerate}
\end{methode*1}


