\begin{methode*1}[Dériver une fonction composée \MethodeRefExercice*{TA3_exo_methode_deriv_compo}]\label{TA3_methode_deriv_compo}
\begin{enumerate}
\item On reconnaît  le type de composée ($\sqrt{u}$, $u^n$, $u^{-n}$ ou $x\mapsto u(ax+b)$) et on identifie $u$.
\item On détermine les ensembles de définition et de dérivabilité de la fonction.
\item On calcule $u'(x)$ et on applique la formule de dérivation qui convient.
\end{enumerate}
 \exercice ~\\
Déterminer les ensembles de définition  $\mathscr{D}$ et de dérivabilité $\mathscr{D}'$ de $f$, puis calculer $f'(x)$.
\begin{colenumerate}{4}
  \item $f(x)\hspace{-.5mm} =\hspace{-.5mm} \sqrt{x^2-x-2}$
  \item $f(x) = \left(\dfrac{3x-1}{2x-4}\right)^2$
  \item $f(x) = \dfrac{1}{\left(\sqrt{x}-1\right)^3}$
  \item $f(x) = (2x-3)^{5}$
\end{colenumerate}

 \correction
\begin{enumerate}
  \item $f$ est du type $\sqrt{u}$ avec $u(x)=x^2-x-2$.\par
  Or, $u(x)$ est un trinôme de degré 2  ayant deux racines : $-1$ et $2$.\par
Ainsi, $u(x)\geqslant0$ si $x\leqslant-1$ ou  $x\geqslant2$ et $f$ est définie sur $\mathcal{D}= ]-\infty~;~-1]\,\cup\,[2~;~+\infty[$.\par
Et comme $f=\sqrt{u}$ est dérivable sur $\mathcal{D}$ sauf là où $u$ s'annule alors $\mathcal{D}'= ]-\infty~;~-1[\,\cup\,]2~;~+\infty[$.
  On a $u'(x)=2x-1$ d'où $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x-2}}$.
  \item $f$ est du type $u^2$ avec $u(x)=\dfrac{3x-1}{2x-4}$.\par
  Or, $u$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{2\}$ donc $f$ est définie sur $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus\{2\}$.\par
  $f$ est dérivable sur son ensemble de définition donc $\mathcal{D}'=\mathcal{D}$.\par
  On a $u'(x)=\dfrac{3(2x-4)-2(3x-1)}{\left(2x-4\right)^2}=\dfrac{-10}{\left(2x-4\right)^2}$.\par
  D'où, $f'(x)=2u'(x)u^{2-1}(x)=2u'(x)u(x)=2\times\dfrac{-10}{\left(2x-4\right)^2}\times\dfrac{3x-1}{2x-4}=-\dfrac{20(3x-1)}{\left(2x-4\right)^3}$.
  \item $f(x)=\left(\sqrt{x}-1\right)^{-3}$ est du type $u^{-3}$ avec $u(x)=\sqrt{x}-1$.\par
  Or, $u$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ et $f$ aussi sauf là où $u$ s'annule. Donc, $\mathcal{D}=[0~;~1[\,\cup\,]1~;~+\infty[$.\par
La fonction $x\mapsto\sqrt{x}$ n'est pas dérivable en 0 donc  $u$ et $f$ aussi. Ainsi, $\mathcal{D}'=]0~;~1[\,\cup\,]1~;~+\infty[$.\par
On a $u'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ d'où $f'(x)=-3u'(x)u^{-3-1}(x)=-3u'(x)u^{-4}(x)=-\dfrac{3}{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)^4}$.
\item On pourrait voir le type $u^5$. Voyons plutôt le type $u(ax+b)$ avec $u(x)=x^5$, $a=2$ et $b=-3$.\par
Il est évident que $\mathcal{D}=\mathcal{D}'=\mathbb{R}$ vu que $f$ est une fonction polynôme de degré 5 !\par
On a $u'(x)=5x^4$ d'où $f'(x)=au'(ax+b)=2u'(2x-3)=2\times5\left(2x-3\right)^4=10\left(2x-3\right)^4$.
\end{enumerate}
\end{methode*1}


\begin{remarque}
Les exemples de formules de dérivation des composées vues précédemment mettent en
évidence une expression unifiée de la dérivée de $x\mapsto f(u(x))$. On donne,
ci-après, la propriété générale mais sa connaissance n’est pas une capacité attendue.
\end{remarque}

