
\begin{definition}[Fonction dérivable - Fonction dérivée]
  Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.\\
  La fonction $f$ est  \MotDefinition[Dérivable sur $\boldsymbol{I}$]{dérivable sur $\boldsymbol{I}$}[dérivable sur I]{} si $f$ est dérivable en tout réel $x$ de $I$.\\
  La fonction $f':x\mapsto f'(x)$ définie sur $I$ est appelée la
  \MotDefinition[Fonction dérivée de $\boldsymbol{f}$ sur
    $\boldsymbol{I}$]{fonction dérivée de $\boldsymbol{f}$ sur
    $\boldsymbol{I}$}[fonction dérivée de f sur I]{}.
\end{definition}

\begin{remarques}
\begin{itemize}
\item Une fonction peut être définie en $a$ mais non dérivable en
  $a$.\par
  Par exemple, prenons la fonction racine carrée qui est définie en
  0.\par
  On a
  $\dfrac{\sqrt{h}-\sqrt{0}}{h}=\dfrac{\sqrt{h}}{h}=\dfrac{1}{\sqrt{h}}$. Or,
  $\displaystyle\lim_{\substack{h\to0\\ h>0}}\dfrac{1}{\sqrt{h}}=+
  \infty$.\par
  Donc, la fonction racine carrée n'est pas dérivable en 0.
    \item Les physiciens expriment une variation à l'aide du symbole $\Delta$.
    Ainsi, entre $x$ et $x_0$, elle est notée $\Delta x = x-x_{0}$ et $\Delta y = f(x)-f(x_{0})$. On a alors : $f'(x_0)=\displaystyle\lim_{x\to x_0}\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
\item On peut noter $f'(a)$ également  $\dfrac{\text{d}f}{\text{d}x}(a)$ qui exprime la différentielle de la fonction $f$ en $a$ par rapport à la variable $x$. Cela sert à écarter toute ambiguïté s'il y a d'autres variables.
\end{itemize}
\end{remarques}

