\begin{exercice}[Les feux de la rampe]
Un théâtre veut bâtir une
rampe conduisant d'un palier à un autre, plus haut de 1 dm. La norme impose que :
\begin{itemize}
\item la rampe ne doit pas être anguleuse ;
\item la pente de la rampe ne doit pas excéder 10 \%.
\end{itemize}
Soit $2\ell$ la longueur au sol de la rampe où $\ell$ est en dm.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que la norme entraîne les conditions  :
\begin{colitemize}{2}
\item $h(0)=1$ \item $h'(0)=0$ \item $h(2\ell)=0$ \item $h'(2\ell)=0$
\end{colitemize}
\begin{tabular}{@{\hspace{.72mm}}l}
\begin{minipage}{\linewidth}
\begin{itemize}
\item Pour tout $x\in[0~;~2\ell]$, $|h'(x)|\leqslant0,1$
\end{itemize}
\end{minipage}
\end{tabular}
\item Une fonction $h:x\mapsto ax^3+ bx^2 + cx + d$ modélise la courbure de la rampe (en rouge ci-dessous).
    \begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=1.5cm,algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-0.8,-0.4)(8.4,1.2)
\pscustom[fillcolor=Gris1,fillstyle=solid,linewidth=0.5pt]{
\psline(0,0)(0,1)
\psplot{0}{8}{x^3/256-3*x^2/64+1}
\psline(8,0)(8,0)}
\psgrid[xunit=3.2cm,subgriddiv=2,subgridcolor=A3,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(0,0)(3,2)
\psaxes[labels=none,xAxis=true,yAxis=true,linewidth=0.8pt,Dx=4,Dy=0.5,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.2,-0.2)(8.4,1.2)
\psplot[linewidth=0.8pt,plotpoints=5000,linecolor=red]{0}{8}{x^3/256-3*x^2/64+1}
\uput[d](4,0){$\ell$} \uput[d](8,0){$2\ell$}
\uput[l](0,0.5){$0,5$} \uput[l](0,1){$1$}
\end{pspicture*}
\end{center}\vspace{-3mm}
\item Exprimer $a$, $b$, $c$ et $d$ en fonction de $\ell$.
\item Le but est d'avoir une longueur  de rampe minimale.
\begin{enumerate}
\item Exprimer $h'(x)$ en fonction de $\ell$.
\item Calculer $h''(x)$ et étudier son signe.\par
En déduire que $h'$ admet un minimum en $\ell$.
\item Appliquer la condition sur la pente maximale pour déterminer la longueur de rampe minimale.
\end{enumerate}
\item Refaire le travail avec $h:x\mapsto a\cos(bx)+c$.\par
Quelle modélisation le théâtre va-t-il choisir  ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

