\begin{exercice}[Le carton plein]
Avec un carton rectangulaire de 80 cm sur 50 cm, on \mbox{fabrique} une
boîte en forme de pavé droit. Pour cela, on retire aux quatre coins du carton
quatre carrés de côté $x$ (en cm) puis on plie suivant $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$.
 \begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(0,0)(8,5)
\psframe(0,0)(8,5)
\psframe[linestyle=dashed](1,1)(7,4)
\psframe[fillstyle=crosshatch](0,0)(1,1)
\psframe[fillstyle=crosshatch](7,0)(8,1)
\psframe[fillstyle=crosshatch](0,4)(1,5)
\psframe[fillstyle=crosshatch](7,4)(8,5)
\uput[45](1,1){$A$}\uput[135](7,1){$B$}
\uput[-135](7,4){$C$} \uput[-45](1,4){$D$}
\end{pspicture*}
    \end{center}
\begin{enumerate}
\item Pour quelles valeurs de $x$ peut-on réaliser la boîte ?
\item Exprimer le volume $\mathcal{V}(x)$ en cm$^3$ de la boîte obtenue.
\item Étudier les variations de $\mathcal{V}$.\par
En déduire la valeur de $x$ pour laquelle $\mathcal{V}$ est maximal et les dimensions de la boîte obtenue.
\end{enumerate}
\end{exercice}

