\begin{exercice}[$\boldsymbol{MIN}$ au max !]
Dans un repère orthonormé $(O~;~I~,~J)$, soit le cercle $(\Gamma)$ de centre $O$ et de rayon 1 et le point $I'(-1~;~0)$.\\
La perpendiculaire à la droite $(II')$ passant par un point $H$ sur $[II']$, distinct de $I$ et $I'$, coupe $(\Gamma)$ en $M$ et $N$.
 \begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\psline[fillstyle=solid,fillcolor=red!5!white](1,0)(-0.31,-0.95)(-0.31,0.95)
\psgrid[subgriddiv=4,subgridcolor=A3,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.2)(1.2,1.2)
\pscircle[linestyle=solid,linewidth=0.8pt](0,0){2}
\psline(-0.31,1.2)(-0.31,0.95)
\psline(-0.31,-0.95)(-0.31,-1.2)
\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red](1,0)(-0.31,-0.95)(-0.31,0.95)(1,0)
\uput[45](0.65,0.65){$(\Gamma)$}
\uput[45](0,0){$O$} \uput[45](1,0){$I$}
\psline[linewidth=0.5pt](-0.41,0)(-0.41,0.1)(-0.31,0.1)
\uput[135](-1,0){$I'$} \uput[45](0,.95){$J$} \uput[-135](-0.31,0){$H$}
\uput[-60](1,0){$1$} \uput[-120](-1,0){$-1$} \uput[-135](0,-1){$-1$} \uput[135](0,1){$1$}
\uput[135](-0.31,0.95){$M$}\uput[-135](-0.31,-0.95){$N$}
\uput[45](2,0){$A$} \uput[45](4,0){$B$}
\end{pspicture*}
    \end{center}
Soit $f$ la fonction définie sur $[-1~;~1]$ par :
 \[f(x) = (1 - x) \sqrt{1 - x^2}.\]
\begin{enumerate}
\item Éxprimer l'aire du triangle $MIN$ en fonction de \mbox{l'abscisse} $x$ du point $H$.
\item Étudier la dérivabilité de $f$ en $1$ et en $-1$.\par
\item Calculer $f'(x)$ pour $x\in]-1~;~1[$. Étudier son signe.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Montrer que le triangle $MIN$ d'aire maximale est équilatéral.
\end{enumerate}
\end{exercice}

