\begin{exercice}[Aire maximale][\tice]
Soit la fonction $f$ définie sur $\left[0~;~4\right]$
  par :
  \[f(x)=\sqrt{-x^{2}+4x}.\]
    \begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.5,-.5)(4.5,2.3)
\psline[fillstyle=solid,fillcolor=B4](0,0)(0.6,1.428285686)(4,0)(0,0)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-1,-1)(5,3)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(4.5,2.3)
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{0}{4}{sqrt(-x*x+4*x)}
\psline(0,0)(0.6,1.428285686)(4,0)(0,0)
\psline(0.6,1.428285686)(4,0)
\uput[45](3.4,1.4){\textcolor{red}{$\mathscr{C}$}}
\uput[-135](0,0){$O$}
\uput[135](0.6,1.428285686){$M$}
\uput[45](2,0){$A$} \uput[45](4,0){$B$}
\end{pspicture*}
    \end{center}
  \begin{enumerate}
  \item  Ouvrir un logiciel de géométrie dynamique (garder toujours le repère orthonormé).
  \begin{enumerate}
  \item Placer $O(0~;~0)$, $A(2~;~0)$ et $B(4~;~0)$. \par
 \item Tracer la courbe $\mathscr{C}$ représentative de $f$.\par
  \item Placer un point $M$ sur $\mathscr{C}$. Afficher la distance $AM$.\par
    Que constate-t-on lorsqu'on déplace $M$ ?
  \item Comment semble évoluer
    $y_{M}$ lorsque $M$ parcourt $\mathscr{C}$ de $O$ à $B$ ?
  \item Construire le triangle $MOB$ et afficher son aire.\par
    Déplacer $M$ pour que cette aire soit maximale.
  \end{enumerate}
 \item Démontrer que $\mathscr{C}$ est un demi-cercle de centre $A$ de rayon 2.
  \item Étudier les variations  de $f$ sur $\left[0~;~4 \right]$.
  \item On note $\mathcal{A}(x)$ l'aire du triangle $MOB$.
  \begin{enumerate}
  \item Montrer que $\mathcal{A}(x)=2f(x)$.
  \item Dresser le tableau de variation de la fonction $\mathcal{A}$.\par
   Préciser le maximum de $\mathcal{A}$ et la valeur pour \mbox{laquelle} il est atteint.
  \end{enumerate}
  \end{enumerate}
\end{exercice}

