\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $[-1~;~3[$ par :
\[f(x)=\sqrt{\dfrac{4(x+1)}{3-x}}\]
représentée par $\mathscr{C}_f$ dans un repère du plan.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathscr{C}_f$ au point \mbox{d'abscisse} 1 a pour équation :
\[x-y+1=0.\]
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Étudier la position de $\mathscr{C}_f$ par rapport à $\mathcal{T}$.
\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}^*$ par :
\[g(x)=\dfrac{1}{4}x^2(3-x)^3\]
représentée par $\mathscr{C}_g$ dans un repère du plan.
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x\in\mathbb{R}^*$ :
\[g'(x)=\dfrac{1}{4}x(6-5x)(x-3)^2.\]
\item Déterminer les points de $\mathscr{C}_g$ où ses tangentes sont horizontales.
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\end{enumerate}
\item Soit la fonction définie par :
\[\left\{\begin{array}{@{}cl}
h(x)=f(x) & \text{si}~x\in[-1~;~1[ \\
h(x)=g(x) & \text{si}~x\in[1~;~+\infty[ \\
\end{array}\right..\]
La fonction $h$ est-elle dérivable en 1 ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

