\begin{exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur $\left[0~;~\pi\right]$ par :
\[f(x)=\cos x(1+\sin x)\]
et représentée par $\mathscr{C}$ dans un repère.
\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est $2\pi$-périodique et que $f$ n'est ni paire ni impaire.
\item Justifier que $f$ est dérivable et montrer que :
\[f'(x)=(1+\sin x)(1-2\sin x).\]
\item
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $[0~;~\pi]$ l'inéquation
 $2\sin x\leqslant 1$.
 \item En déduire le signe de $f'(x)$.
 \end{enumerate}
 \item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Vérifier que pour tout réel $x$ :
\[f\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=-f\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right).\]
Qu'en déduit-on pour  la courbe $\mathscr{C}$ ?
\item Déterminer l'équation de la tangente $\mathcal{T}$ à $\mathscr{C}$ au point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$.
\item Tracer $\mathcal{T}$ puis $\mathscr{C}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

