\begin{exercice}
Soit les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x)=\cos x-1+\dfrac{x^2}{2} \text{~et~} g(x)=f(x)-\dfrac{x^4}{24}.\]
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Dériver deux fois $f$ et en déduire que $f(x)\geqslant 0$ pour tout réel $x$.
\item Dériver quatre fois $g$ et en déduire que $g(x)\leqslant 0$ pour tout réel $x$.
\item En déduire un encadrement de $\cos x$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminer la précision $\varepsilon(x)$ de l'encadrement.
\item Étudier la fonction $\varepsilon$. \par
En déduire à quelle condition sur $x$ il est pertinent d'utiliser cet encadrement.
\end{enumerate}
\item Application : encadrer $\cos \dfrac{\pi}{5}$ et estimer sa précision.
\end{enumerate}
\end{exercice}

