\begin{exercice}
Soit la fonction $f$ définie par :
\[f(x)=(ax+1)(2x^2+x+1)^2.\]
Dans le repère $(O~;~I~;~J)$ ci-dessous, on a représenté la courbe $\mathscr{C}_f$ représentative de la fonction $f$ et la droite qui passe par $J$ et $B(1~;~4)$.
\begin{center}
\setlength{\fboxsep}{0pt}
\psset{xunit=2.5cm,yunit=0.75cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\fbox{\begin{pspicture*}(-1.5,-2.3)(1.5,4.3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-2,-3)(2,5)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-1.5,-2.3)(1.5,4.3)
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{-2.5}{2.5}{(x+1)*((2*x^2+x+1)^2)}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=green!60!black]{-2.5}{2.5}{3*x+1}
\uput[u](-1.35,-2.3){\textcolor{red}{$\mathscr{C}_f$}}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt,fillcolor=Blanc](1,4){.05}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt,fillcolor=Blanc](0,0){.05}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt,fillcolor=Blanc](0,1){.05}
\pscircle[fillstyle=solid,linewidth=0.5pt,fillcolor=Blanc](1,0){.05}
\uput[-135](0,0){$O$} \uput[-135](1,0){$I$} \uput[135](0,1){$J$}  \uput[-45](1,4){$B$}
\end{pspicture*}}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Justifier que la courbe $\mathscr{C}_f$ passe par le point $J$.
\item Déterminer le coefficient directeur de $(JB)$.
\item Démontrer que, pour tout réel $x$ :
\[f'(x)=\left[10ax^2+(3a+8)x+a+2)\right](2x^2+x+1).\]
\item On admet que $(JB)$ est tangente à $\mathscr{C}_f$ au point $J$.\par
Déterminer alors la valeur de $a$.
\end{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)=(10x^2+11x+3)(2x^2+x+1)$.
\item Déterminer les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

