\begin{exercice*}[\ExerciceRefMethode{TA3_methode_fonction_trigo}]\label{TA3_exo_methode_fonction_trigo}
Soit  $f$ la fonction définie sur $\left[-\dfrac{\pi}{2}~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ par :
  \[f(x)=2x+\sin 2x.\]
  \begin{enumerate}
  \item Étudier la parité de $f$. Interpréter graphiquement. \label{parite}
  \item
    \begin{enumerate}
    \item Démontrer que, pour tout $x \in \left[0~;~\dfrac{\pi }{2}\right]$ :
      \[f'(x)=2(1+\cos 2x).\]
    \item Étudier les variations de $f$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    \end{enumerate}
  \item À l'aide de \RefItem{parite}, dresser le tableau de variation de $f$.
  \end{enumerate}
\begin{corrige}
  \begin{enumerate}
  \item $f(-x)=2(-x)+\sin(-2x)$\par
  $=-2x-\sin2x=-f(x)$.\par
  Donc, $f$ est impaire et sa représentation graphique dans un repère est symétrique par rapport à l'origine du repère.
  \item
    \begin{enumerate}
    \item $f'(x)=2+2\cos 2x=2(1+\cos 2x)$.
    \item Pour tout  $x\in[0~;~\frac{\pi}{2}[$, $\cos 2x>-1$ donc $f'(x)>0$ et $f(\frac{\pi}{2})=0$. Ainsi, $f$ est strictement croissante sur $[0~;~\frac{\pi}{2}]$.
    \end{enumerate} \setcounter{enumi}{2}
  \item  \begin{minipage}{\linewidth}
  \begin{tikzpicture}[general, scale=0.8]
  \tkzTabInit[lgt=1.3, espcl=2., color, colorC=H4, colorV=H4, colorL=H4, colorT=A4, lw=0.3mm]
  {$x$ / 1, $f$ / 2}
  { $-\frac{\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$}
  \tkzTabVar{-/$-\pi$,+/$\pi$}
  \tkzTabVal[draw]{1}{2}{0.5}{$0$}{$0$}
 \end{tikzpicture}
 \end{minipage}
  \end{enumerate}
\end{corrige}
\end{exercice*}

