\begin{exercice}
Soit la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[f_n(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)^n}, \text{~pour tout~} n\in\mathbb{N}^*.\]
Dans un repère orthonormé, on note $\mathscr{C}_n$ la courbe \mbox{représentative} de $f_n$. Ci-dessous, on a tracé $\mathscr{C}_1$, $\mathscr{C}_3$
 et $\mathscr{C}_8$.
 \begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=1.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-2.5,-0.3)(2.5,1.3)
\psgrid[subgriddiv=1,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-3,-1)(3,2)
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-2.5,-0.3)(2.5,1.3)
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=red,plotpoints=5000]{-2.5}{2.5}{1/(x^2+1)}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=orange,plotpoints=5000]{-2.5}{2.5}{1/((x^2+1)^3)}
\psplot[linestyle=solid,linewidth=0.8pt,linecolor=green!60!black,plotpoints=5000]{-2.5}{2.5}{1/((x^2+1)^8)}
\uput[u](2.3,0.1){\textcolor{red}{$\mathscr{C}_1$}}
\uput[u](0.9,0.1){\textcolor{orange}{$\mathscr{C}_3$}}
\uput[u](0.2,0.1){\textcolor{green!60!black}{$\mathscr{C}_8$}}
\end{pspicture*}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item On admet que $f_n$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.\par
Calculer $f'_n(x)$.
\item
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'équation réduite de la tangente $(d)$ à la courbe $\mathscr{C}_3$ au point d'abscisse 1.
\item Soit la droite $(\Delta)$ d'équation $y=\dfrac{5}{32}x+\dfrac{3}{16}$.\par\vspace{1mm}
Montrer qu'il existe une courbe $\mathscr{C}_n$ qui admet $(\Delta)$ comme tangente au point d'abscisse $-1$.\par
Déterminer la valeur de $n$ correspondante.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

