\begin{exercice}
Soit les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par :
\[f(x)=\sqrt{x^2+1}-2x \text{~~et~~} g(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que $g'(x)=\dfrac{1}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}}$.\par
 En déduire le sens de variation de $g$ sur $\mathbb{R}$.
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$.
\item Montrer que $f'(x)=g(x)-2$.\par
En déduire le signe de $f'(x)$ puis les variations de $f$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

