\begin{exercice*}
    Soit  $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par :
    \[f(x)=2\cos\left(x-\dfrac{\pi}{4}\right).\]
    Parmi les affirmations suivantes, démêler le vrai du faux. Justifier.
\begin{enumerate}
      \item $f'(x)=2\sin\left(x-\dfrac{\pi }{4}\right)$
      \item $f(x)=0\Leftrightarrow x\in\left\{\dfrac{3\pi}{4}+k\pi \text{~avec~} k\in\mathbb{Z}\right\}$
      \item $f$ est strictement monotone sur $\left[-\dfrac{\pi}{4}~;~\dfrac{\pi}{4}\right]$
      \item $f(x)=\sqrt{2} \Leftrightarrow  x\in\left\{\dfrac{\pi}{2}+2k\pi \text{~avec~} k\in\mathbb{Z}\right\}$
\end{enumerate}
    \begin{corrige}
\begin{enumerate}
      \item Fausse. $f'(x)=-2\sin\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)$
      \item Vraie. $f(x)=0$\par
      $\Leftrightarrow \cos\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right)=0$\par
      $\Leftrightarrow x-\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\pi}{2}+k\pi \text{~avec~} k\in\mathbb{Z}$\par
      $\Leftrightarrow x= \tfrac{3\pi}{4}+k\pi \text{~avec~} k\in\mathbb{Z}$\par
      \item Vraie. $-\tfrac{\pi}{4}< x < \tfrac{\pi}{4}$\par
       $\Leftrightarrow -\tfrac{\pi}{2}< x-\tfrac{\pi}{4} < 0$\par
       $\Leftrightarrow -1< \sin\left(x-\tfrac{\pi}{4}\right) < 0$.\par
       Ainsi : $0<f'(x)<2$. De plus, $f$ ne s'annule qu'en $-\tfrac{\pi}{4}$.\par 
       Donc, $f$ est strictement croissante sur $\left[-\tfrac{\pi}{4}~;~\tfrac{\pi}{4}\right]$.
      \item Fausse. $f(0)=\sqrt{2}$. Or,\par
      $0\notin \left\{\tfrac{\pi}{2}+2k\pi \text{~avec~} k\in\mathbb{Z}\right\}$.
\end{enumerate}
    \end{corrige}
    \end{exercice*} 

