\begin{exercice}
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^*$ par :\\
\phantom{.}\hfill $f(x)= -x^3+2x^2+\dfrac{1}{x}.$ \hfill\phantom{.}\vspace{2mm}
\begin{enumerate}
\item On admet que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}^*$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $f'(x)=-\dfrac{(x-1)^2(3x^2+2x+1)}{x^2}$.
\item En déduire les variations de $f$.
\end{enumerate}
\item $f$ admet-elle un extremum local en 1 ?
\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ aux points d'abscisses $-1$ et 1.
\end{enumerate}
    \begin{corrige}
    \begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item $f'(x)=-3x^2+4x-\frac{1}{x^2}$\par
$=-\frac{3x^4-4x^3+1}{x^2}$.\par
Mais, le développement de 
$(x-1)^2(3x^2+2x+1)$
donne $3x^4-4x^3+1$.
\item Pour tout $x\in\mathbb{R}^*$, $f'(x)\geqslant 0$ et $f'$ ne s'annule qu'en $1$ donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty~;~0[$ et sur $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item $f'$ s'annule mais ne change pas de signe en 1 donc $f$ n'a pas d'extremum local en 1.
\item $y=-8x-6$  et $y=2$.
\end{enumerate}
      \end{corrige}
   \end{exercice}

