\begin{exercice}[Le collecteur est dans les tuyaux][\tice]
Mario doit installer un collecteur d'eaux pluviales sur la façade d’une maison.\\
On a représenté  cette façade ci-dessous par le rectangle $ABCD$. L'eau de pluie,  retenue par une gouttière $[CD]$, passe par deux tuyaux obliques $[CM]$ et $[DM]$ puis par un tuyau vertical $[MR]$ pour finir dans un réservoir $R$.\\
$R$ est le milieu de $[AB]$ ; $AB=10$ m et $BC=6$ m. \\
Soit $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(BC)$, $\theta$ la mesure en radians de l'angle $\widehat{CMH}$ et $\ell=MC+MD+MR$.\\
Les trois tuyaux seront en cuivre, métal plutôt coûteux. Le but est donc de trouver la position du point $M$ qui minimise la longueur totale $\ell$ de ces tuyaux.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(11,7)
\psframe*[fillstyle=solid,linecolor=FondOuv](0,0)(10,6)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](5,3.105929)(10,3.105929)
\psframe[linewidth=0.5pt](5.1,0)(5.4,0.3)
\psframe[linewidth=0.5pt](9.7,3.405929)(10,3.105929)
\psarc(5,3.105929){1}{0}{30.0637}
\psline[linestyle=solid,linecolor=cuivre,linewidth=3pt](0,6)(5,3.105929)(10,6)
\psline[linestyle=solid,linecolor=cuivre,linewidth=3pt](5,0)(5,3.105929)
\psframe(0,0)(10,6)
\uput[-135](0,0){$A$} \uput[-45](10,0){$B$}  \uput[45](10,6){$C$}
\uput[135](0,6){$D$} \uput[u](5,3.105929){$M$} \uput[d](5,0){$R$} \uput[r](10,3.105929){$H$} \uput{30pt}[15](5,3.105929){$\theta$}
\end{pspicture*}
    \end{center}

\partie[Conjecture sur logiciel]
\begin{enumerate}
\item Avec un logiciel de géométrie dynamique, faire une figure. On pourra
d'abord placer les points $A(0~;~0)$ et $C(10~;~6)$.
\item Afficher les valeurs de $\theta$ et de $\ell$.\par
Faire alors varier la position du point $M$.
\item Conjecturer la valeur de $\theta$ qui minimise $\ell$.
\end{enumerate}

\partie[Preuve du système optimal]

\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Exprimer $MC$ puis $CH$  en fonction de $\theta$.
\item En déduire $MR$ en fonction de $\theta$.
\end{enumerate}
\item Soit $\ell$ la fonction qui, à tout angle $\theta \in \left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$, associe la longueur totale $\ell$ des trois tuyaux.
\begin{enumerate}
\item Expliciter $\ell(\theta)$.
\item Montrer que, pour $\theta\in\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$, on a :
\[\ell'(\theta)=\dfrac{5(2\sin \theta -1)}{\cos^2\theta}.\]
\item En déduire que la fonction $\ell$ admet un minimum $\theta_0$.\par
      Donner la valeur exacte de $\theta_0$ en radians
\item Donner la valeur exacte de $\ell(\theta_0)$, puis une valeur arrondie au centimètre.
\end{enumerate}
\item Faire un schéma du système optimal.
\end{enumerate}
\end{exercice}



