\begin{exercice}[Racine carrée, cubique et cosinus]
Soit $f$ la fonction définie sur $]-\infty~;~1]$ par :
\[f(x)=x\sqrt{1-x}.\]

\vspace{-\baselineskip}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Étudier la dérivabilité de $f$ en 1.\par
 Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
\item Montrer que $f$ est dérivable sur $]-\infty~;~1[$ et que :
\[f'(x)=\dfrac{2-3x}{2\sqrt{1-x}}.\]
\item Dresser le tableau de variation de $f$.
\item Représenter graphiquement la fonction $f$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item Montrer que l’équation $f(x)=-\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$ admet une unique solution négative.
\item Montrer que l’équation $f(x)=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$ admet deux solutions exactement dans $[0~;~1]$.
\item Soit $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$  les solutions dans l'ordre croissant vues précédemment. Justifier que :
    \begin{colitemize}{2}
    \item $-\dfrac{1}{3}<\alpha_1<0$
    \item $0<\alpha_2<\dfrac{2}{3}<\alpha_3<1$
    \end{colitemize}
\item Donner une valeur  approchée de $\alpha_1$ à $10^{-3}$ près.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item On pose $u=\dfrac{3}{2}\left(x-\dfrac{1}{3}\right)$.\par
Montrer que l’équation (E) : $\left|x\sqrt{1-x}\right|=\dfrac{1}{3\sqrt{3}}$ équivaut à l'équation (E’) : $8u^3 -6u-1 = 0$.
\item On pose $u_i=\dfrac{3}{2}\left(\alpha_i-\dfrac{1}{3}\right)$ pour $i\in\{1~;~2~;~3\}$.\par
Montrer qu’il existe un unique réel $\theta_i$ dans $[0~;~\pi]$ tel que $u_i=\cos \theta_i$.
\item Prouver que, pour tout réel $\theta$ réel :
\[\cos 3\theta = 4\cos^3\theta-3\cos \theta.\]
\item Déduire des questions précédentes que l'équation (E') équivaut à l'équation $\cos 3\theta=\dfrac{1}{2}$.\par
 Résoudre cette
équation dans $[0~;~\pi]$ et en déduire les valeurs exactes de $\alpha_1$, $\alpha_2$ et $\alpha_3$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

