\begin{exercice}[Polynômes en cosinus et linéarisation]
On rappelle que :
\begin{itemize}
\item $\cos (a+b)\!=\!\cos a\cos b\!-\!\sin a \sin b$ \item $\sin(a+b)\!=\!\sin a \cos b\!+\!\sin b \cos a$
\end{itemize}

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\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Justifier les égalités suivantes : $\cos 2x=2\cos^2 x-1$ ~~et~~ $\sin 2x=2\cos x \sin x$.
\item En déduire les égalités suivantes : $\cos 3x=f(\cos x)$ avec $f(x)=4x^3-3x$.
\item Déterminer de la même façon $\cos 4x$ sous forme d'un polynôme de degré 4 en $\cos x$.
\end{enumerate}
\item En trigonométrie, linéariser une puissance de $\cos x$, c'est l'écrire comme somme de termes du type $\alpha \cos \beta x$.
\textit{Par exemple :} $\cos^2 x=\dfrac{1}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{2}$.\\
En s'aidant des résultats précédents, linéariser $\cos^3 x$ et $\cos^4 x$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

