\begin{exercice}[Dérivée de $\boldsymbol{\cos}$ et $\boldsymbol{\sin}$]
Dans un repère orthonormé $(O~;~I,~J)$, on considère un point $M$ sur le cercle trigonométrique de centre $O$ tel que $\left(\overrightarrow{OI}~;~\overrightarrow{OM}\right)=x$ avec $0<x<\dfrac{\pi}{2}$.\\
On définit aussi $C$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(OI)$ et $T$ l'intersection de $(OM)$ et de la perpendiculaire à $(OI)$ passant par $I$.
 \begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.4)(1.2,1.2)
\psgrid[subgriddiv=4,subgridcolor=A3,gridcolor=A3, gridlabels=0pt](0,0)(-2,-2)(2,2)
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=10,Dy=10,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-0.4,-0.4)(1.4,1.6)
\pscircle[linestyle=solid,linewidth=0.8pt](0,0){2}
\psline[linestyle=solid,linewidth=0.5pt](1,-0.4)(1,1.6)
\psline[linestyle=dashed,,linewidth=0.5pt](0.76604,0)(0.76604, 0.64279)
\psline[linestyle=solid,linewidth=0.5pt](0,0)(1.34621,1.1296)
%\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=red](1,0)(-0.31,-0.95)(-0.31,0.95)(1,0)
%\uput[45](0.65,0.65){$(\Gamma)$}
\uput[-135](0,0){$O$} \uput[45](1,0){$I$}  \uput[60](1,0.8391){$T$}
\uput[45](0,.95){$J$} \uput[-60](1,0){$1$} \uput[-120](-1,0){$-1$} \uput[-135](0,-1){$-1$} \uput[135](0,1){$1$}
\uput[90](0.76604, 0.64279){$M$} \uput[d](0.76604,0){$C$}
\end{pspicture*}
    \end{center}
\begin{enumerate}
\item Exprimer en fonction de $x$ les aires du secteur \mbox{angulaire} du cercle trigonométrique d'angle $\widehat{MOI}$ et des triangles $MOI$ et $TOI$.
\item En déduire que, pour tout $x\in\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ :
 \begin{colitemize}{2}
 \item $\sin x <x<\tan x$
 \item $\cos x<\dfrac{\sin x}{x}<1$
\end{colitemize}
\item Calculer $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^+}\dfrac{\sin x}{x}$. En déduire $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^-}\dfrac{\sin x}x$.
\item Montrer que pour tout $x\in\left]-\dfrac{\pi}{2}~;~0\right[\,\cup\left]0~;~\dfrac{\pi}{2}\right[$ :
\[\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac{1}{1+\cos x}\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)^2.\]
 En déduire $\displaystyle  \lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}$ puis $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\dfrac{\cos x-1}{x}$.
\item Pour tout $x_0\in\mathbb{R}$ fixé, calculer $\cos'x_0$ et $\sin'x_0$ (on pourra utiliser les formules trigonométriques de \mbox{duplication} et les limites obtenues précédemment).
\end{enumerate}
\end{exercice}

