  \begin{exercice}
    \partie{}
    Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty $[
    par :
    \[g (x)= \dfrac{x^2\ + 1}{\sqrt{x}}+1.\]
    \begin{enumerate}
    \item Montrer que $g'(x)=\dfrac{3x^2 - 1}{2x\sqrt{x}}$.\par
    En déduire le  signe de $g'(x)$.
    \item Déterminer la limite de $g$ en 0.
    \item Donner le tableau de variation de $g$ (on ne demande pas la
      limite de $g$ en $+\infty $).
      En déduire le signe de $g(x)$ pour $x \in ]0~;~+ \infty [$.
    \end{enumerate}

    \partie{}

    Soit $f$ la fonction définie sur
    $]0~;~+\infty $[ par :
    \[f (x)= x- \dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{\sqrt{x}}\]
     et soit $\mathscr{C}$ sa courbe représentative dans un repère.
    \begin{enumerate}
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Déterminer la limite de $f$ en 0.\par
      Interpréter graphiquement le résultat.
      \item Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty $.
      \end{enumerate}
    \item Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle
      $]0~;~+\infty [$ :
      \[f'(x)= \dfrac{g(x)}{x\sqrt{x}}.\]
      En déduire le signe de $f'(x)$ puis le tableau de variation de
      $f$.
    \item Montrer que l'équation $f(x)=3$ admet une unique
      solution $x_{0}$, comprise dans l'intervalle [4~;~5].\par
      À l'aide de la calculatrice, donner un encadrement d'amplitude
      10${}^{-2}$ de $x_{0}$.
    \item
      \begin{enumerate}
      \item Calculer la limite de $f(x)-x$ lorsque $x$
        tend vers $+\infty $.\par
        Interpréter graphiquement ce résultat.
      \item Étudier la position de la courbe $\mathscr{C}$ par rapport à la
        droite d'équation $y=x$.
      \item Déterminer une équation de la tangente $(\mathcal{T})$ à $\mathscr{C}$ au point $A$ d'abscisse 4.
      \end{enumerate}
    \end{enumerate}
  \end{exercice}

